Diskussion:Alternierende Gruppe

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In der ersten Hälfte des Artikels wird von A_n, in der zweiten von Alt_n gesprochen. Ist das gewollt!? (nicht signierter Beitrag von 79.206.46.192 (Diskussion | Beiträge) 19:50, 30. Mai 2009 (CEST))

Mit Inversionszahl stimmt nicht!

Glaube ich auch. bei mir sind gerade permutationen: (1),(123),(132),(124),(142),(134),(143) und die ungeraden sind: (12),(13),(14),(23),(24),(34). jeweils 6 weils ja ein teiler der ordnung der gruppe (12) sein muss.

Das liegt daran, dass hier die Tupelschreibweise verwendet wird (siehe Permutation). Werde eine Bemerkung in den Artikel eingefuegen.

Alt₄

Warum gehört die Gruppe Alt₄ nicht zu den einfachen Gruppen? --84.61.30.26 14:59, 24. Aug 2006 (CEST)

Weil sie die "Kleinsche" Vierergruppe als nichttrivialen Normalteiler hat. --Hanfried.lenz 17:10, 29. Sep. 2007 (CEST).

Def Inversion

eine formale Definition von Inversion fehlt.

"Von einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer Permutation in „falscher“ Reihenfolge stehen"

Dieser Satz aus dem Artikel ist ziemlich schwammig formuliert wie ich finde.

Die Bezeichnungen pn und qn am Ende des Artikels gefallen mir nicht; denn sie bedeuten üblicherweise p mal n bzw. q mal n, was nicht gemeint ist. --Hanfried.lenz 17:02, 29. Sep. 2007 (CEST).

Verändert - Bild ist falsch!

Liebe Freunde,

die Stelle mit der Inversionzahl im Artikel ist einfach Quatsch. Der genannte Zykel besitzt 8 Fehlstände, sieht man leicht, wenn man sich ihn in Permutationsmatrixschreibweise aufschreibt. Des weiteres ist es ein gerader Zykel, da er aus 4 Transpositionen dargestellt werden kann (im übrigen sind alle ungeraden Zykel gerade und umgekehrt!)

Hab das Falsche jetzt einmal verändert. Dabei ist mir aufgefallen, dass das Bild völlig falsch ist. ALLE dargestellten zykeln sind GERADE, weil es 3-Zykelen sind. Kann man das korrigieren, und in die rechte Box ungerade Zykeln (alle Zykeln gerader Länge sind z.B. ungerade) reintun?

danke.

Sehr geehrte Damen und Herren,

in der Rubrik "Abgeschlossenheit" unter dem Titel "Transpositionen" ist mir eine kleine Ungereimtheit aufgefallen. Mmn muss es "Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutation p2" und nicht "Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen p2" heißen. Ich bitte um Überprüfung und ggf. um Korrektur. -- Tuchel 13:14, 28. Dez. 2009 (CET)

A₂ einfach?

In der deutschen Wikipedia Definition für einfache Gruppen wird die triviale Gruppe explizit nicht ausgeschlossen. Insofern müsste in diesem Artikel auch A₂ zu den einfachen Gruppen gezählt werden, oder die Einordnung zumindest zusätzlich erläutert werden. (nicht signierter Beitrag von 31.17.221.32 (Diskussion) 13:41, 17. Nov. 2012 (CET))

Inhaltliche Fokussierung

Es gibt mittlerweile eine Reihe von Spezialartikeln zu Permutationen, insbesondere Vorzeichen (Permutation), Fehlstand und Zyklische Permutation. Ich würde daher vorschlagen, den Inhalt dieses Artikels um redundante Definitionen und Ausführungen zu straffen und auf die Gruppeneigenschaften der alternierenden Gruppe zu fokussieren. Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:42, 30. Nov. 2012 (CET)

Gerade Permutation

Im Artikel steht momentan:

Jeder 3-Zykel $(a~b~c)$ ist eine gerade Permutation und deshalb Element der alternierenden Gruppe, da er sich als Produkt

$(a~b)\circ (b~c)=(a~b~c)$

schreiben lässt.

Das ist zumindest unglücklich formuliert, da eine Permutation mit zwei Transpositionen allgemein

$(a~b)\circ (c~d)$

lauten müsste.

Grüße, --2A00:1398:9:FB00:44E0:A2D4:9F53:BC23 13:01, 22. Aug. 2013 (CEST)

An dieser Stelle wird doch nur die Richtung 3-Zyklus ⇒ gerade Permutation gezeigt, indem man einen 3-Zyklus als Produkt zweier Transpositionen schreibt. Mit der Verkettungseigenschaft folgt dann

$\operatorname {sign} ((a~b~c))=\operatorname {sign} ((a~b)\circ (b~c))=\operatorname {sign} ((a~b))\cdot \operatorname {sign} ((b~c))=(-1)\cdot (-1)=+1$

Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:30, 22. Aug. 2013 (CEST)

Kern der Signum-Abbildung

Hallo,

im Artikel steht momentan:

Als Kern des Signums ist $A_{n}$ automatisch ein Normalteiler von $S_{n}$.

Dazu habe ich mehrere Fragen:

1. Wieso hat die Signum-Abbildung einen Kern? Sie Bildet doch in eine Menge ab. Ich kenne den "Kern" jedoch nur als Abbildung in eine Gruppe (oder einen Ring) und bei dieser Abbildung sind alle Elemente im Kern, die auf das neutrale Element der Zielstruktur abgebildet werden. Eine Menge hat aber keine Verknüpfung und erst recht kein neutrales Element.
2. Wieso folgt daraus "automatisch", dass $A_{n}$ ein Normalteiler von $S_{n}$ ist?

Grüße, --2A00:1398:9:FB00:44E0:A2D4:9F53:BC23 13:27, 22. Aug. 2013 (CEST)

Die Menge $\{+1,-1\}$ ist mit der normalen Multiplikation eine Gruppe $(\{+1,-1\},\cdot )$. Das neutrale Element findest du bestimmt selbst raus. Dass $A_{n}$ ein Normalteiler von $S_{n}$ folgt dann aus der Definition. Siehe auch Vorzeichen (Permutation)#Homomorphie. Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:41, 22. Aug. 2013 (CEST)

Hi Quartl,

mir ist klar, dass $(\{+1,-1\},\cdot )$ eine Gruppe ist und 1 als Neutralelement hat. Aber dann müsste die Signums-Funktion duch als

$\operatorname {sgn} \colon {\text{S}}_{n}\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot )$

definieren, oder? Im Artikel wird auf eine Menge abgebildet. Ich kann für diese Menge auch eine Verknüpfung definieren, die -1 als Neutralelement hat, was die Aussage über den Kern falsch machen würde.

Grüße, --141.3.237.58 14:28, 22. Aug. 2013 (CEST)

Bei Gruppen ist die Notation häufig etwas schlampig (auch in der Literatur), insbesondere werden die Gruppe und ihre Trägermenge meist nicht auseinander gehalten. Sauberer wäre es zu schreiben ${\mathcal {S}}_{n}=(S_{n},\circ )$, dann ist ${\mathcal {S}}_{n}$ die Gruppe und $S_{n}$ die Trägermenge. Die Signum-Funktion bildet zwischen Mengen ab, nicht zwischen Gruppen. Wenn es um Eigenschaften der Signum-Funktion geht, betrachtet man dann Verknüpfungen auf den Mengen. Normalerweise ist klar, welche Verknüpfungen gemeint sind, wenn nicht, muss man es dazu schreiben. Hier ist es die ganz normale Multiplikation. Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:43, 22. Aug. 2013 (CEST)

Ok, alles klar. Vielen Dank für die Erklärung! Damit ist das für mich erledigt. --141.3.237.58 15:01, 22. Aug. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --141.3.237.58 15:01, 22. Aug. 2013 (CEST)

Anzahl der Elemente

Hallo zusammen,

im Artikel steht:

Die alternierende Gruppe $A_{n}$ besteht aus ${\tfrac {n!}{2}}$ (halbe Fakultät) Elementen.

Wieso ist das so? Kann jemand hierfür zumindest eine Quelle angeben, lieber noch eine Erklärung und am besten schon eine Erklärung in den Artikel einbinden?

Grüße, --141.3.237.58 14:31, 22. Aug. 2013 (CEST)

Siehe Vorzeichen (Permutation)#Mächtigkeiten (offenbar ein derzeit zu lesender Artikel für dich). Wie oben angekündigt, wollte ich diesen Artikel mal überarbeiten, bin nur bisher nicht dazu gekommen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:47, 22. Aug. 2013 (CEST)