Alternierende Gruppe

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Die alternierende Gruppe vom Grad besteht aus allen geraden Permutationen einer -elementigen Menge. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden symmetrischen Gruppen . Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe zu. Dass sie der einzige nicht-triviale Normalteiler von ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des Satzes von Abel-Ruffini. Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke lösbar sind.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die alternierenden Gruppen sind nur für definiert.

Die alternierende Gruppe besteht aus (halbe Fakultät) Elementen. Nur die Gruppen und sind abelsch. Die alternierende Gruppe ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe .

Bis auf und sind alle alternierenden Gruppen einfach. ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Drehgruppe des Ikosaeders (siehe Ikosaedergruppe).

Erzeugendensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die alternierende Gruppe wird von den 3-Zykeln der symmetrischen Gruppe erzeugt.

Jeder 3-Zykel ist eine gerade Permutation, da er sich als Produkt von zwei Transpositionen

schreiben lässt, und deshalb ein Element der alternierenden Gruppe. Des Weiteren ist jede gerade Permutation ein Produkt von 3-Zykeln, da Paare aus zwei Transpositionen Produkte von 3-Zykeln sind. Im Einzelnen gilt

  • wenn beide Transpositionen gleich sind.
  • wenn beide Transpositionen ein gemeinsames Element besitzen.
  • wenn beide Transpositionen kein gemeinsames Element besitzen.

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von einem Fehlstand oder einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer Permutation in „falscher“ Reihenfolge stehen. Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihrer Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.

Beispiel: Die Permutation in Tupelschreibweise besitzt die Inversionen „3 vor 1“ und „3 vor 2“ (abzulesen an der Zweizeilenform) und damit die Inversionszahl .

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist, von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Oft definiert man auch das Signum wie folgt:

, falls die Permutation gerade ist und
, falls ungerade ist.

Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus, es gilt also:

für die Permutationen und .

Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Kern des Signums ist automatisch ein Normalteiler von . Man kann auch die Untergruppeneigenschaften leicht nachrechnen:

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:

  • Die identische Permutation ist Element dieser Menge.
  • Die Menge ist bezüglich Verkettung abgeschlossen, d. h. wenn und gerade Permutationen sind, sind auch und gerade, eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen „erbt“ direkt von alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

  • Für alle geraden Permutationen gilt:
  • Für alle geraden Permutationen gilt:
  • Für alle geraden Permutationen gilt: es gibt ein gerades mit

Die Gruppe stellt hierbei eine Besonderheit dar, da sie die kleinste, einfache, nicht-abelsche Gruppe ist.

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transpositionen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei welcher genau 2 verschiedene Stellen miteinander vertauscht werden, z. B. , bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen und : lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen : lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation erzeugen.

Im Bild ist dargestellt, wie die Permutation in Tupelschreibweise aus mit 5 Transpositionen erzeugt wird.

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild rechts beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sich paarweise aufhebender Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, … erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich, mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus zu erzeugen.

Transpositionen und Inversionszahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus
die neue Permutation
erzeugt, setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

  • Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x und z ergibt, diese ist +1, falls x < z, ansonsten −1.
  • Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x, yi und z ergibt.
    • falls yi größtes oder kleinstes Element von x, yi, z ist, beträgt die Änderung 0.
    • falls yi mittleres Element von x, yi, z ist, beträgt die Änderung +2 oder −2.

Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen

Die weiter oben getroffene Aussage lässt sich verallgemeinern:

  • Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
  • Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

Transpositionen und Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:

  • alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
  • alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn p und q gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen und , so dass sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

Damit gilt , somit ist auch die Verkettung gerade.

Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation sei gerade und sei ungerade wegen zum Widerspruch.

Präsentation der Gruppe An[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen sieht so aus: Die Gruppe wird für durch

Erzeugende und
Relationen
  für  
  für  
  für  

definiert.[1] Das heißt, dass jede Gruppe, die Elemente enthält, die untereinander die oben genannten Gleichungen erfüllen und insgesamt die Gruppe erzeugen, bereits zur alternierenden Gruppe isomorph ist.

Das kann man etwa verwenden um zu zeigen, dass isomorph zur Gruppe der invertierbaren -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen ist. Dass folgt aus der nachzurechnenden Tatsache, dass


die Gruppe erzeugen und obige Relationen erfüllen.[2]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 108–109

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel I, Satz 6.14
  2. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Satz 2.5