Endliche einfache Gruppe

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Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) als die Bausteine der endlichen Gruppen.

Die endlichen einfachen Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen für die natürlichen Zahlen: Jede endliche Gruppe lässt sich in ihre einfachen Gruppen „zerteilen“ (für die Art der Eindeutigkeit siehe den Satz von Jordan-Hölder). Die Rekonstruktion einer endlichen Gruppe aus diesen ihren „Faktoren“ ist aber nicht eindeutig. Es gibt jedoch keine „noch einfacheren Gruppen“, aus denen sich die endlichen einfachen Gruppen konstruieren lassen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie nur \left\{e\right\} und sich selbst als Normalteiler besitzt. Oft wird zusätzlich G\neq\left\{e\right\} gefordert. Da die Normalteiler einer Gruppe genau die Untergruppen sind, die als Kern eines Gruppenhomomorphismus auftreten, ist eine Gruppe G genau dann einfach, wenn jedes homomorphe Bild von G isomorph zu G oder zu \left\{e\right\} ist. Eine weitere äquivalente Definition ist: Eine Gruppe ist genau dann einfach, wenn die Operation der Gruppe auf sich selbst als Gruppe mittels Konjugation irreduzibel ist (das heißt, die einzigen unter dieser Operation invarianten Untergruppen sind \left\{e\right\} und G).[1]

Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seit 1962 war bekannt, dass alle nicht-abelschen endlichen einfachen Gruppen eine gerade Ordnung haben müssen (der Satz von Feit-Thompson besagt, dass Gruppen ungerader Ordnung sogar auflösbar sind). Bis zur vollständigen Klassifikation war es aber noch ein weiter Weg.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, sie lassen sich einteilen in

Zum Beweis des Klassifikationssatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Herleitung des Satzes war eines der umfangreichsten Projekte der Mathematikgeschichte:

  • Der Beweis verteilt sich auf über 500 Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht alle Beweise auch publiziert worden.
  • Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.

Da Teile des Satzes mit Hilfe von Computern überprüft wurden, wird der Beweis jedoch nicht von allen Mathematikern anerkannt. Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden Mathematikern des Klassifikationsprogramms wie Michael Aschbacher und Daniel Gorenstein ein Programm aufgenommen worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war[2] – ein Grund war allerdings, dass sich die Autoren bemühten, möglichst ohne Verweise auszukommen.

Familien endlicher einfacher Gruppen (Beispiele)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zyklischen Gruppen Zp mit p = 2, 3, 5, 7, 11,... bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und kommutativ zusammen, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ und jede endliche einfache kommutative Gruppe ist zyklisch.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und ungerade Ordnung beinahe zusammen:

  • Jede endliche einfache zyklische Gruppe – außer Z2 – besitzt eine ungerade Anzahl von Elementen.
  • Jede endliche einfache Gruppe mit ungerader Ordnung ist zyklisch.

Alternierende Permutationsgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die alternierenden Permutationsgruppen A_n mit n>4 bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Spezielle projektive Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die speziellen projektiven linearen Gruppen \mathrm{PSL}_n(q) mit Ausnahme von \mathrm{PSL}_2(2) und \mathrm{PSL}_2(3) bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Sporadische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten 5 der insgesamt 26 sporadischen Gruppen (siehe dort zu einer tabellarischen Übersicht) wurden von Émile Mathieu bereits in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 „jüngeren“ Gruppen wurden ab 1964 gefunden; meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen der Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum Teil recht groß sind, vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischen Entdeckung und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft mehrere Jahre. Die größte aller 26 sporadischen Gruppen, die sogenannte Monstergruppe F1 mit rund 8 × 1053 Elementen, wurde bereits 1973 von Bernd Fischer und Robert Griess entdeckt, ihre endgültige Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

Von einigen Autoren wird auch die Titsgruppe 2F4(2)' mit 17971200 = 211·33·52·13 Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergibt.

Weblinks und Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Michael Aschbacher: Finite group theory, Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-45826-9, S. 9 ff. (englisch; Inhaltsverzeichnis, PDF-Datei, 75,4 kB; Zentralblatt-Rezension)
  2. Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups, AMS

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]