Diskussion:Dimension (Mathematik)

Raum

"In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet." EIn 2D Raum ist mir ehrlich gestanden fremd. 2D ist eine Fläche und erhält erst durch die dritte Dimension Raumeigenschaften. 1D Raume sind mir eben so fremd. Auch ist eine Gerade in einem 3D Raum frei drehbar, verschiebbar etc. Die Formulierung ist etwas wage und doppeldeutig. Ich denke man sollte die Dimensionen als einfachste Form der Darstellungbarkeit der Realität erklären, wobei jede Dimension für sich mit den anderen Gleichwertig ist.-- Bernhard Hanreich 23:54, 2. Sep. 2011 (CEST)

Da ist mir die Umdeutung einer 2D-'Fläche' als 2D-'Raum' lieber, als so ein "Dimension sind die einfachste Form der Darstellungbarkeit der Realität" -Philosophen-Geschwurbel.

--arilou (Diskussion) 09:51, 1. Apr. 2015 (CEST)

3D

Nehmen wir an es existiert ein Raum in 3D mit drei Dimensionen (Länge, Breite, Höhe ein Euklidischer Raum) mit einem Nullpunkt als Zentrum. So kann man auch davon ausgehen, dass gleichzeitig ein zweiter Raum mit dem gleichen Zentrum besteht, dessen Koordinaten in andere Richtungen zeigen. So ergeben sich also zwei Räume im 3D, welche unterschiedliche Dimensionen beschreiben, da Länge Breite und Höhe eine andere Richtung aufweisen. Hat man daher schon sechs Dimensionen, wenn man diese Räume in einem dritten übergeordneten Raum mit gleichem Nullpunkt aber ohne Koordinatenrichtung addiert (verbindet)? Oder gibt es im Grunde nicht nur einen - den Raum, der auf verschiedene Weisen betrachtet werden und durch die Brille der Betrachtung definiert und begrenzt werden kann? Je nach Brille(Betrachtungsweise) spricht man dann von diesem oder jenem Raum. Handelt es sich Im Grunde nicht immer um das gleiche, um den gleichen Raum. Grenzt nicht lediglich der in der Brille integrierte Filter das eine oder andere aus? Der Vektorraum wäre dann sozusagen ein multieuklidischer Raum, eine Addition von unendlich vielen unterschiedlichen euklidischen Räumen. da er alle KoordinatenrIchtungen (Vektorenrichtungen) zuläßt. -- Bernhard Hanreich 19:49, 11. Dez. 2011 (CET)

In einem Raum kann es unendlich viele Koordinatensysteme geben. Dennoch ist es immer derselbe eine Raum. Und eine seiner Eigenschaften ist es, n Dimensionen zu besitzen. Die Dimensionen eines Raums sind die Mindestanzahl an Koordinatenangaben, die ein jedes Koordinatensystem benötigt, um den Raum vollständig abdecken zu können.

--arilou (Diskussion) 15:11, 8. Dez. 2016 (CET)

"Hamel-Dimension"

Gibt es den Begriff tatsächlich? --Digamma (Diskussion) 16:47, 17. Apr. 2012 (CEST)

Als Algebraiker bin ich da auch schon mal drüber gestolpert. In der Algebra ist der Ausdruck nicht üblich, in der Funktionalanalysis wohl schon. --Boobarkee (Diskussion) 18:55, 17. Apr. 2012 (CEST)

Den Begriff "Hamel-Basis" kenne ich. Aber "Hamel-Dimension" habe ich noch nie gehört/gelesen. --Digamma (Diskussion) 20:46, 17. Apr. 2012 (CEST)

Eine Google-Suche nach "Hammel-Dimension" (mit Anführungszeichen) liefert gut 3000 Treffer. Die meisten davon sind Englisch oder gehen auf die deutsche WP zurück. Gruß --Boobarkee (Diskussion) 12:10, 18. Apr. 2012 (CEST)

Danke, bin überzeugt. Bitte entschuldige meine Faulheit. Googeln hätte ich natürlich auch selbst können. --Digamma (Diskussion) 15:38, 18. Apr. 2012 (CEST)

Ganz unabhängig von der Existenz des Begriffs wird hier aber der Eindruck erweckt, auch bei endlichen Vektorräumen würde man von Hamel-Dimension sprechen. In welchem unter den hunderten Linearen Algebra Lehrbüchern ist denn das bitte so (ganz davon abgesehen, dass das ja wohl auch historisch nicht gerechtfertigt wäre) ? --Claude J (Diskussion) 09:49, 28. Mär. 2014 (CET)

Naja, die Dimension eines Vektorraums wird 'auch' Hamel-Dimension genannt. Das ist nicht falsch, da gibt es Belege (in Funktionalanalysis-Büchern). Vielleicht wäre es aber schöner, die Überschrift von "Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraums)" in "Dimension eines Vektorraums (Hamel-Dimension)" umzubenennen, sodass der üblichere Begriff vorne steht und der unüblichere in Klammern. Weiter könnte man das "auch Hamel-Dimension gennt" präzisieren zu "in der Funktionalanlysis auch Hamel-Dimension gennant" verändern. Klingt das nach einem Vorschlag? --Cosine (Diskussion) 12:57, 2. Apr. 2014 (CEST)

Überabzählbare Dimensionen

Hi, Schauderbasen sind ja stets abzählbar und längst nicht immer existent. Für Hilberträume existiert dagegen ein einfacher, umfassender Dimensionsbegriff. Der sollte dann wohl einen eigenen Abschnitt bekommen – aber kennt jemand eine Verallgemeinerung auf Nicht-Hilberträume? Wenn es da etwas etabliertes gibt, wäre es womöglich nicht im Sinne einer zusammenhängenden Darstellung, Schauderdimension und Hilbertraumdimension ganz getrennt darzustellen. --Chricho ¹ ² ³ 18:04, 3. Jul. 2012 (CEST)

Ich kenne kein etabliertes Konzept für Nicht-Hilberträume und habe die beiden Begriffe jetzt einmal getrennt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob wir die Schaurderdimension wirklich noch brauchen, da sie mir kein sehr sinnvolles Konzept zu sein scheint. Es gibt ja anscheinend nur die Fälle: Erstens: Raum ist endlichdimensional, dannist die Schuaderdimension gleich der gewöhnlichen (Hamel-)Dimension. Zweitens: Raum ist unendlichdimensional und hat eine Schauderbasis, dann ist die Schauderdimension gleich aleph_0. Drittens: Raum hat keine Schauderbasis, dann ist die Schauderdimension nicht definiert. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 12:56, 20. Jul. 2012 (CEST)

Vielen Dank für deine Änderung, das ist schonmal gut so. Ja, das überzeugt mich auch nicht. Es geht um die Eigenschaft hat Schauderbasis und nicht um einen interessanten Dimensionsbegriff. Wird der Begriff der Schauderdimension denn irgendwo benutzt? --Chricho ¹ ² ³ 17:17, 3. Aug. 2012 (CEST)

Eine einfache Websuche konnte mir die Frage beantworten (nachdem hier die Sprache darauf kam). Gibt es in der Tat, überabzählbare Konstruktionen, den Ansatz, der mir kam, eben eine Wohlordnung zu fixieren für nicht-unbedingte Schauderbasen und daraus Teilfolgen zu nehmen, scheint es wirklich zu geben, aber laut der Quelle funktionierts nicht (deckt sich mit meiner Vorhersage, dass das absurd wäre^^). Siehe hier. Die Quelle, auf die da verwiesen wird, finde ich leider nicht im Internet (Generalized bases in topological linear spaces), nur eine vielversprechend aussehende Zusammenfassung. Da muss ich morgen mal in der Bibliothek schauen, ob ich den Band da finde. Das sieht auch gut aus. Es gibt also in der Tat allgemeinere Konzepte, die Schauderdimension bzw. Markouchevitchdimension heißen. --Chricho ¹ ² ³ 22:56, 6. Aug. 2012 (CEST)

Kontinuum als Hameldimension

Hallo, im Moment steht da dieser unschöne Satz, dass die Hameldimension von einem abzählbar unendlich dimensionalen Hilbertraum „echt größer“als die Hilbertraumdimension ist. (Das folgt aus dem Satz von Baire (endlich dimensionale Teilräume sind nirgends dicht).) Ich vermute mal sehr stark, man kann auch ohne Kontinuumshypothese zeigen, dass die Hameldimension tatsächlich $\beth _{1}$ ist (größer geht nicht, weil der Raum nur so viele Elemente hat). Kennt irgendjemand einen Beweis dazu? --Chricho ¹ ² ³ 17:25, 3. Aug. 2012 (CEST)

Mir war auch nur das Baire-Argument für die Überabzählbarkeit der Hamelbasis bekannt. Deshalb ja auch der unschöne Satz mit "echt größer". Allerdings kam mir gerade folgende Idee: Man kann zeigen, dass es eine Familie von Mengen (A_i)_{i in I} gibt, sodass die Indexmenge I Kontinuumskardinalität hat, jede Menge A_i eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und dass A_i geschnitten A_j immer endlich ist (für i \neq j). (Die taucht unter anderem auch auf, wenn man zeigen will, c_0 in ell^\infty nicht komplementiert ist oder dass die Calkin-Algebra keine treue Darstellung auf einem separablen Hilbertraum hat.

Jetzt nehmen wir die Folge x:=(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...), die müsste ein Element in \ell^2(N) sein und multiplizieren diese nun mit der Indikatorfunktion von A_i, also der n-te Term der Folge x_i ist 1/n, falls n\in A_i ist und 0 sonst.

Das müsste uns eine Familie (x_i)_{i\in I} von Hilbertraumelementen geben und wenn mich nicht alles täuscht, müssten diese linear unabhängig sein. Folglich wäre die Hameldimension größer als |I| und somit größergleich dem Kontinuum. (Kleinergleich Kontinuum ist sowieso klar, weil \ell^2 nur Kontinuum viele Elemente hat). Folglich würde ich glauben, dass die Hamel-Dimension "kontinuum" ist, ich weiß aber nicht, ob das schon irgendwo zitierfähig steht. Außerdem habe ich die lineare Unabhängigkeit jetzt nicht nachgerechnet, sondern es ist mehr so eine Vermutung... Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:15, 9. Aug. 2012 (CEST)

Sieht gut aus, habs aber auch nicht nachgerechnet. Dass es so eine Familie gibt, ist ja klar, man betrachte einfach den Quotienten $\mathbb {F} _{2}^{\mathbb {N} }/\bigoplus _{\mathbb {N} }\mathbb {F} _{2}$ und nehme jeweils einen Repräsentanten (und „Kontinuum durch abzählbar ist Kontinuum“). --Chricho ¹ ² ³ 13:26, 9. Aug. 2012 (CEST)

Wenn man wollte, könnte man sich jetzt fragen, ob jeder unendlichdim. separable Banachraum Hameldimension "Kontinuum" hat... Aber wenn man sich das nicht fragen will, dann kann man es natürlich auch lassen. ;-) (Ist zur Verbesserung dieses Artikels nicht unbedingt geeignet und hat somit auf dieser Diskussionsseite sowieso nicht so viel verloren).

Aber zurück zum Artikel: Dürfen wir jetzt schreiben, dass ein separabler unendlichdim. Hilbertraum eine Hameldimension vom Kontinuum hat, oder müssten wir (nach den Grundsätzen der Wikipedia) erst ein Lehrbuch finden, wo das drinsteht? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:52, 10. Aug. 2012 (CEST)

Einleitungssatz

Auch wenn er schon ewig lang im Artikel steht: Irgendwie gefällt mir der einleitende Satz

"Die Dimension ist ein Konzept in der Mathematik, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet"

nicht so recht. Hilft das tatsächlich dem Verständnis? Wer weiß, was Freiheitsgrade sind, der weiß doch auch, was eine Dimension ist, oder? Ich hätte jetzt eher etwas von "Anzahl unabhängiger Richtungen" geschrieben. Das ist zwar mindestens genauso vage, aber ich finde, man kann sich mehr darunter vorstellen. --Digamma (Diskussion) 21:27, 3. Dez. 2019 (CET)

Ich würde sogar so weit gehen, und Beispiele direkt in der Einleitung bringen:

• 1D: Zahlenstrahl
• 2D: kartesische Ebene (x;y) (euklidischer 2D-Hilbertraum)
• 3D: kartesischer euklidischer Raum (x;y;z) (euklidischer 3D-Hilbertraum)

Das ist doch richtig anschaulich für eine WP:OmA!

--arilou (Diskussion) 11:53, 4. Dez. 2019 (CET)

Gerne. Nach nochmaligem Nachdenken: Ich würde auch etwas ähnliches schreiben wie: Die Dimension gibt an, wieviele Zahlen benötigt werden, um einen Punkt festzulegen. Aber schreib nicht "Hilbertraum". Das versteht OmA nicht und ist auch mit Kanonen auf Spatzen geschossen. --Digamma (Diskussion) 18:44, 4. Dez. 2019 (CET)