Diskussion:Geometrischer Schwerpunkt

Zur Geometrie

Ich will demnächst Bsp für die Schwerpunktslagen von einfachen und zusammengesetzten Körpern reintun. Halbes Ellipsoid ist schon fertiggezeichnet, es kommen noch Halbkugel, Kugelsegment, Kugelsektor, Kegel, eventuell auch ein Zylinderhuf. Bei den Zusammengesetzten ein Kegel mit einer Halbkugel dran. Was für Beispiele soll ich noch machen?! Was für hübsche anschauliche Beispiele fallen Euch für zus.-ges. Körper mit verschiedenen Dichten ein? Oder soll das ganze gar nicht so umfangreich werden?! Die allgemeinen Berechnungen für die genannten Fälle gehören hier aber auf jeden Fall rein! ilim 19:04, 4. Feb 2005 (CET)

Bei den Körpern ist die Abbildung für den Schwerpunkt der Mantelfläche der Pyramide vielleicht etwas missverständlich. Man könnte zunächst an den Volumenschwerpunkt denken. Evtl. kann man die Seitenflächen einfärben/schraffieren.

Liste von Schwerpunkten

Ich habe gerade in die englische Wikipedia gesehen: List_of_centroids So was vermisse ich noch im deutschem Wikipedia. Wenn ich Zeit habe kann ich mich vielleicht darum kümmern.

Vielleicht sollte man noch kurz was zum Kreisbogen sagen, nicht, dass jemand das mit dem Kreissektor verwechselt.

Zum Thema Kreissektor: Kreissektor (englisch) (nicht signierter Beitrag von 85.179.234.1 (Diskussion) 18:40, 20. Nov. 2008 (CET))

Herleitung

wie wäre es mal mit einer Herleitung für die Integrationsformeln für von Graphen begrenzten Flächen? THx (nicht signierter Beitrag von 92.203.63.254 (Diskussion) 19:45, 30. Nov. 2010 (CET))

siehe Parabel-- Wruedt 07:05, 25. Jan. 2012 (CET)

Modelle

Gibt es einen Beleg für Diese Methode wird oft an Modellen angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht? Spätestens seit der Einführung Geographischer Informationssysteme kann ich mir das nicht mehr vorstellen. Viele Grüße, --Quartl 06:50, 25. Jan. 2012 (CET)

Rotationsparaboloid

Ich habe die neu eingefügte komplizierte Formel für den Flächenschwerpunkt eines Rotationsparaboloids zwar - mit einiger Mühe - mit einem Computeralgebrasystem nachvollziehen könne (sollte also stimmen), aber eine Literaturquelle dafür wäre schon wichtig. Auf die Schnelle habe ich nämlich nichts dazu gefunden. -- HilberTraum (Diskussion) 14:06, 8. Mär. 2012 (CET)

Eine Quelle konnte ich auch nicht finden. Aber vielleicht macht der Zwischenschritt die Rechnung nun leichter nachvollziehbar.--131.220.161.244 11:30, 14. Mär. 2012 (CET)

Schwerpunkt des Dreiecks

Hallo; es wird im Artikel nicht geklärt, warum eine Seitenhalbierende im Dreieck eine Schwerelinie darstellt. Könnte man die Erklärung nicht ergänzen? Gruß. --Geodel (Diskussion) 16:17, 27. Jan. 2013 (CET)

eine Erklärung wäre die folgende (vielleicht zu umständlich für den Artikel ?):

Der Abstand des Flächenschwerpunktes eines Dreiecks zu seiner Grundlinie G ändert sich nicht bei Verschieben der Dreiecksspitze entlang einer Parallele zu G, denn wie jeder Punkt der Dreiecksfläche wandert auch sein Flächenschwerpunkt dabei parallel zu G und behält so seinen Abstand zu G bei.

Verschiebt man also eine der beiden Ecken eines beliebigen Dreiecks, die seiner Seitenhalbierenden S gegenüberliegen, derart parallel zu S, dass sich ein spiegelsymmetrisches Viereck ergibt, so liegt der Flächenschwerpunkt dieses Vierecks wegen der Symmetrie klarerweise auf S. Da sich bei dieser Verschiebung der Abstand des Flächenschwerpunktes des 'Unterdreiecks', dass aus der verschobenen Spitze und S besteht, zu S nicht verändert hat, lag der Flächenschwerpunkt des ursprünglichen Dreiecks immer auf S und S ist somit eine Schwerelinie. Gruss --131.220.161.244 14:22, 13. Jun. 2013 (CEST)

Wenn ich mit nicht irre, kann man die Schwerelinie als Achse auffassen an der das Dreieck ausbalanciert ist.--Kmhkmh (Diskussion) 16:47, 13. Jun. 2013 (CEST)

und wieso wäre die Seitenhalbierende eine solche ausbalancierte Achse? --131.220.161.244 18:47, 13. Jun. 2013 (CEST)

Weil sie das Dreieck in zwei flächengleiche und damit gleich schwere Teile (entlang einer Achse) zerlegt.--Kmhkmh (Diskussion) 19:10, 13. Jun. 2013 (CEST)

Ja, zwei flächengleiche Dreiecke gleicher Grundseite haben damit die gleiche Höhe und auch gleichen Abstand des Flächenschwerpunkts von der Grundseite, so dass die Balance gegeben ist.--78.49.107.150 20:03, 13. Jun. 2013 (CEST)

Gleiche Fläche (und damit gleiches Gewicht) impliziert ja nicht automatisch gleiches Drehmoment bzgl. der Drehachse, welches zur Balance ja notig ist. Warum haben denn zwei flächengleiche Dreiecke gleicher Grundseite den gleichen Abstand des Flächenschwerpunkts von der Grundseite? --Geodel (Diskussion) 17:28, 24. Mai 2014 (CEST)

Die Frage bzw. der Hinweis dass man die Fläche nicht mit dem Drehmoment gleichsetzen kann ist berechtigt. Allerdings hat der Vorposter dennoch Recht, dass das Drehmoment einer Fläche gegenüber ihrer Grundseite (als Drehachse) im Fall von Dreiecken nur noch von der Höhe abhängt, d.h. die Form des Dreiecks spielt keine Rolle. Zu einer fest vorgegebenen Grundseite besitzen alle Dreiecke mit gleicher Höhe über dieser Grundseite das gleiche Drehmoment. Da gleiche Flächen über einer Seite gleiche Höhen implizieren, reichen gleiche Flächen dann hier tatsächlich aus. Ich habe jetzt keine Literaturstelle für diese Drehmomentseigenschaft von Dreiecken (Unabhängigkeit der Drehomentes von der Form) parat, aber man sich selbst davon überzeigen, indem man die entsprechenden der allgemeinen Drehmomente einfach berechnet. Dazu berechnet man zunächst das Drehmoment eines Rechteckes mit Seiten a und b gegenüber seiner Grundseite b als Rotationsachse. Dieses beträgt ${\tfrac {a^{2}b}{2}}$. Unter Benutzung dieses Ergebnisses erhält man dann ${\tfrac {h^{2}g}{6}}$ für das Drehmoment eines Dreieckes gegenüber seiner Grundseite g als Drehachse, welches eben bei festem g nur von h abhängt und damit unabhängig von der genauen Form des Deiecks ist. Eine Herleitung dieser Drehmomente über Grenzwerte von (unendlicher) Summen kann man der folgenden Grafik entnehmen.

--Kmhkmh (Diskussion) 11:49, 10. Jun. 2014 (CEST)

Ja, das ist eine sehr schöne Herleitung und sollte m.E. im Artikel einen Platz finden! Was mich am derzeitigen Abschnitt "Dreieck" etwas stört ist der dort lauernde Zirkelschluss: aus der Behauptung, die Seitenhalbierende sei eine Schwerlinie, wird der Schwerpunkt als Schnittpunkt dieser Seitenhalbierenden abgeleitet, woraus sich wiederum die Koordinaten für den Schwerpunkt ergeben, die die (konstante) Höhe enthalten. Daraus konnte in der Diskussion hier wieder gefolgert werden, dass die Seitenhalbierenden Schwerlinien seien... Um diesen möglichen Zirkel zu vermeiden, sollte an einer Stelle im Abschnitt der Schwerpunkt unabhängig berechnet werden, oder auf andere Art bewiesen werden, dass Seitenhalbierende im Dreieck Schwerlinien sind. Was hältst du von einer entsprechenden Erweiterung des Abschnitts? --Geodel (Diskussion) 18:52, 10. Jun. 2014 (CEST)

In der jetzigen Form des Artikels she ich die Zirkelschlussproblematik (noch) nicht. Derzeit beschränkt sich der Artikel ja fast auschließlich darauf Resultate (und deren anwendungen) mitzuteilen. Motivierende Konzepte, Querbezüge und skizzierte Herleitungen bei denen man dann auf mögliche Zirkelschlüsse achten müsste kommen ja derzeit praktisch nicht vor.

Persönlich bin ich mit dem Artikel nicht besonders glücklich, da anschauliche Motivationen und Konzepte weitgehend fehlen vor allem weil über den ganzen Artikel verteilt "höhere" Integrale (Wegintegrale) verwendet werden, was den Zugänglichkeit für Abiturienten, Studienanfänger und andere doch sehr beschränkt. Besser wäre Spezialfälle und einfachere Verallgemeinerungen zuerst zu behandeln und besser zu motivieren (Schwerpunkt als Ausgleichspunkt der Drehmomente oder als Angriffspunkt für das "akkumulierte Drehmoment", Symmetriebetrachtungen, etc.). Die Formel am Ende des Artikels kommt z.B. mit dem einfachen Riemenan-Integral aus und lässt sich auch gut in der Schule motivieren bzw. herleiten.--Kmhkmh (Diskussion) 11:49, 24. Jun. 2014 (CEST)

Ebene Flächen > Kreisabschnitt fehlt

Hallo liebe Mitbearbeiter!

Neben der Formel und Darstellung für einen Kreisausschnitt, wäre es großartig, wenn auch die Formel für den Schwerpunkt des Kreisabschnitts aufgeführt wäre (der Kreisabschnitt ist das Stück zwischen Sehne und Umfang eines Kreisausschnitts). Laut Tabellenbuch Metall (in Aufl. 41 auf S. 30) lautet die Formel für die Schwerpunktskoordinate vom Mittelpunkt aus: $y_{s}={\frac {l^{3}}{12A}}$ - wobei dort die Angabe zur Berechnung von A fehlt (im Zweifel $A=A_{Kreisausschnitt}-A_{eingeschlossenesDreieck}$). Eine alternative Berechnungsmethode über den eingeschlossenen Winkel liefert: http://wandinger.userweb.mwn.de/Formelsammlungen/schwerpunkt.pdf

Leider kann ich momentan die Darstellung dazu nicht erstellen und würde mich deshalb riesig über Unterstützung freuen! :)

Viele Grüße
Merlin (nicht signierter Beitrag von Merlin2001 (Diskussion | Beiträge) 19:13, 12. Sep. 2013 (CEST))

Eckenschwerpunkt des Dreiecks?

Erst wird erzählt, dass eine Fläche 3 verschiedene Schwepunkte hat. Im Abschnitt "Dreieck" werden aber dann leider nur noch 2 davon behandelt, der Eckenschwerpunkt taucht nicht mehr auf. Wo ist er? --RokerHRO (Diskussion) 20:44, 26. Nov. 2020 (CET)

Der Eckenschwerpunkt und der Flächenschwerpunkt sind bei einem Dreieck identisch. Der Kantenschwerpunkt (die Masse ist auf den Dreiecksseiten gleichmäßig verteilt) ist i.a. vom Ecken- und Flächenschwerpunkt verschieden (siehe Spieker-Punkt).--Ag2gaeh (Diskussion) 16:13, 27. Nov. 2020 (CET)

Definition des Schwerpunkts durch Integrale

Die Definitionen in diesem Abschnitt gelten für den Spezialfall, dass man in einem kartesischen Koordinatensystem rechnet. Eine "koordinatenfreie" Definition wäre hier meines Erachtens angebracht, auch weil es Figuren gibt, bei denen man aus Symmetriegründen z. B. in Zylinderkoordinaten o. ä. rechnen sollte. --Mathze (Diskussion) 21:23, 6. Dez. 2022 (CET)

Naja wenn man erst einmal die Definition in kartesischen Koordinaten hat, kann man ja immer immer noch eine Koordinatentransformation durchführen. Auf alle Fälle sollte auch die Zugänglichkeit für möglichst viele Leser im Blick haben (da finde ich die jetzigen Integraldefnitionen schon "suboptimal") und je allgemeiner und abstrakter man die Definition fast, desto weniger zungänglich sind sie.--Kmhkmh (Diskussion) 22:17, 6. Dez. 2022 (CET)

Ich habe da eine andere Sicht; ich finde die koordinatenfreie Definition meist die eingänglichste. Hier wäre es ja intuitiv die "Summe" der mit den Volumenelementen gewichteten Ortsvektoren, normiert durch das Volumen. Außerdem finde ich es am logischsten, mit der koordinatenfreien Definition anzufangen und dann zu sagen: Und in Kartesischen Koordinaten kommt dann das raus, in Zylinderkoordnaten jenes etc. Es macht auch klar, dass der geometrische Schwerpunkt eine Eigenschaft des Körpers ist, die unabhängig vom Koordinatensystem definiert werden kann (und meines Erachtens auch sollte). Bei den verwandten Artikeln zum Massenmittelpunkt und dem Gravizentrum (beide überarbeitungsbedürftig) wird übrigens im 3d-Fall nur die koordinatenfreie Definition angegeben.

Ist aber sicherlich auch Geschmackssache, und ich bin kein Dogmatiker. Wenn man aber mit der Definition in kartesischen Koordinaten anfängt, so sollte man zumindest die koordinatenfreie Definition nachliefern. --Mathze (Diskussion) 12:49, 7. Dez. 2022 (CET)

Im Zweifelsfall sollten alle Definitionen in den Artikel, aber es ist schon sinnvoll mit einem möglichst einfachen Zugang, der auch Lesern mit geringeren Kentnissen konkrete Berechnungen ermöglicht zu beginnen, also der z.B. möglichst mit Integraldarstellungen auskommt, wie man sie aus dem Oberstufenunterricht oder dem ersten Semester kennt (1-dim Riemannintegrale oder etwas Analoges). Bei den weiterführenden Integralbegriffen wissen vermutlich weitaus mehr Leser nicht, was sie sie genau bedeuten und schon gar nicht wie man sie in einem konkreten Fall berechnet, womit sie für diesen Leserkreis witgehend nutzlos sind. Der Artikel zu Massenmittelpunkt fängt ja auch mit einer eher anschaulichen Darstellung an, bevor er zu allgemeinen Integraldefinition kommt und um die wirklich zu verstehen muss man wohl das Birkhoff- oder Bochner-Integral kennen, diese wiederum bekommt man meines wissens nach nicht einmal in den meisten (universitären) Einführungen in die Analysis zu Gesicht.--Kmhkmh (Diskussion) 18:11, 7. Dez. 2022 (CET)

Was genau meinst du mit "koordinatenfrei"? Die Darstellung des Integranden als Vektor oder die Integration? Das sind verschiedene Dinge. --Digamma (Diskussion) 21:35, 7. Jan. 2023 (CET)

Ich meine die allgemeine Darstellung des Integranden als Vektor, im Gegensatz zur Komponentendarstellung in einem gegebenen Koordinatensystem. Z. B. für den Körperschwerpunkt ${\frac {1}{V}}\int _{K}{\vec {r}}\,\mathrm {d} V$ --Mathze (Diskussion) 10:15, 8. Jan. 2023 (CET)

Ist das wirklich allgemeiner? In den meisten Darstellungen der Integration von vektorwertigen Integranden wird das Integral komponentenweise definiert und damit auf das Integral von skalaren Funktionen zurückgeführt. Man könnte natürlich auch direkt das Riemann-Integral für vektorwertige Funktionen definieren, aber das scheint mir eher unüblich zu sein. Außer für den Fall von unendlichdimensionalen Banachräumen, wo es gar nicht anders geht. --Digamma (Diskussion) 14:03, 8. Jan. 2023 (CET)

Zu dieser Frage wird es keine allgemeingültige Antwot geben, es ist vermutlich eine Geschmackssache. Ich möchte nur ein Argument für die vektorielle Definition bringen: Wenn es über Komponenten definiert wird, dann immer über kartesische. Für wie viele Körper berechnet man denn den Schwerpunkt tatsächlich in kartesischen Komponenten? Allein in diesem Artikel finden sich - abgesehen von den elementargeometrischen Beispielen - fast nur kreis- oder rotationssymmetrische Beispiele, mit Ausnahme der Parabel. Für solche heißt es dann: Da wechselt man lieber zu anderen Koordinatensystemen, hier sind die Umrechnungsterme. Ich halte das für didaktisch ungeschickt und allein dadurch gerechtfertigt, dass einem schon von früh auf das kartesische Koordinatensystem "eingetrichtert" wird. Zu den theoretischen Herleitungen kann ich nichts sagen, dafür mag es sinnvoll sein, kartesisch zu definieren.

Ich habe tatsächlich auch noch nie eine Definition des Riemann-Integrals für vektorwertige Funktionen gesehen, obwohl eine solche Definition völlig analog den "skalaren Funktionen" wäre und somit auch sehr leicht verständlich für ein entsprechend vorgebildetes Publikum. --Mathze (Diskussion) 17:37, 8. Jan. 2023 (CET)

Wobei es aber etst einmal für viele einen "Kompilierungsfehler" beim Lesen gibt und sie entsprechenden Integralbegriffe erst nachlesen müssen. Die meisten werden bei einem Integral einen Skalar bzw. eine reelle Zahle erwarten. Letztlich verbirgt die elegante Formel die explizite Berechnung ja nur (ob sie nun kartesischen Koordinatensystem oder einem anderen Koordinatensystem) und viele Leser werden eben die Formel nicht direkt in eine explizite Rechnung umsetzen können, was die Formel für diesen Leserkreis "nutzlos" macht.--Kmhkmh (Diskussion) 18:05, 8. Jan. 2023 (CET)

Als Kompromiss könnte man ja, wie von mir vorgeschlagen, zunächst die Formel mit ${\vec {r}}$ angeben und dann sagen: In kartesischen Koordinaten ergibt sich sofort ${\vec {r}}=(x,y,z)$ der Formelsatz .... . Es ist im Prinzip nur eine Extrazeile. Aber wie ich schon gesagt hatte, ich bin da nicht dogmatisch. Jetzt ist es jedoch auch so, dass der Leser noch den Schritt gehen muss, (z. B.) das Integral $\int _{K}x\,dV$ in ein Dreifachintegral $\iiint x\,dx\,dy\,dz$ mit entsprechende Grenzen umzuwandeln, was vermutlich auch vielen nicht klar sein dürfte. --Mathze (Diskussion) 19:11, 8. Jan. 2023 (CET)

"Wenn es über Komponenten definiert wird, dann immer über kartesische. Für wie viele Körper berechnet man denn den Schwerpunkt tatsächlich in kartesischen Komponenten?"

Vektoren kann man nur in kartesischen Koordinaten (bzw. Koordinaten bzgl. einer Vektorraumbasis) addieren. Selbst wenn du in Zylinderkoordinaten integrierst, sind die Koordinaten des Ortsvektors (als Integrand) kartesisch. (Deswegen oben die Nachfrage, ob der Integrand oder die Integrationsvariable koordinatenfrei sein soll. Das eine hat mit dem andern nichts zu tun.) --Digamma (Diskussion) 20:10, 8. Jan. 2023 (CET)

"Ich habe tatsächlich auch noch nie eine Definition des Riemann-Integrals für vektorwertige Funktionen gesehen, obwohl eine solche Definition völlig analog den "skalaren Funktionen" wäre und somit auch sehr leicht verständlich für ein entsprechend vorgebildetes Publikum."

Mit dem Riemann-Integral geht das. Mit dem Lebesgue-Integral aber nicht. --Digamma (Diskussion) 20:11, 8. Jan. 2023 (CET)