Diskussion:Graßmann-Algebra

Kritik

Defintion per abstract nonsense und Quotient

Artikel ist wirr: einmal $\Lambda ^{k}(V)=T^{k}(V)/J^{k}(V)$, einmal $\Lambda ^{k}(V)\subset T^{k}(V)$. Definition von $J^{k}(V)$ unverständlich, ist kein Ideal. $J(V)=\bigoplus _{k=0}^{n}J^{k}(V)$ ist kein Ideal.--80.136.146.162 09:50, 3. Jul. 2008 (CEST)

• $\Lambda ^{k}(V)\subset T^{k}(V)$ steht nirgendwo.
• Die Definition von $J^{k}(V)$ ist eigentlich unmissverständlich, was ist daran unklar? Des Weiteren: $T^{k}(V)$ besitzt keine Ringstruktur, also ist es unsinnig, bei einer Teilmenge von einem Ideal zu sprechen.
• $J(V)=\bigoplus _{k=0}^{n}J^{k}(V)$ ist ein (beidseitiges) Ideal, da mit $\,v_{i}=v_{j}$ gilt: $v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}\otimes x\in J^{k+1}(V)$.

--Quilbert 問 21:17, 3. Jul. 2008 (CEST)

Ist hinfällig, meine Antwort bezog sich auf die aktuelle Version, in der obiger Benutzer bereits selbst die Fehler beseitigt hatte. --Quilbert 問 22:04, 3. Jul. 2008 (CEST)

Untervektorraum statt Ideal sollte es sein, und die Definition als unter Vertauschung antisymmetrische Tensoren sollte nach oben als alternative Definition. Der Bezug der Algebra zur Clifford-Algebra der Nullbilinearform könnte noch eingearbeitet werden, evtl. die Einbettung in beliebige Clifford-Algebren. Oder letzteres auch nicht.--LutzL 22:10, 3. Jul. 2008 (CEST)

Einselement

Es heißt, die Grassmannalgebra ist eine Algebra mit Einselement. Sollte es dann nicht mitangegeben werden? 11:48, 10. Jul. 2008 (CEST)

Ok, ich schreibe es Dir hier hin: 1 (aus dem Grundkörper K).--LutzL 07:57, 11. Jul. 2008 (CEST)

Anti oder nicht anti

"Insbesondere ist $v\wedge v=0$ für alle $v\in V$, aber im Allgemeinen ist $a\wedge a\neq 0$ für $a\in \Lambda ^{k}(V)$ mit $k$ gerade."

Wenn "im Allgemeinen [...] $a\wedge a\neq 0$" ist, dann kann doch nicht "$v\wedge v=0$ für alle $v\in V$" sein. Außerdem ist $\Lambda (V)$ antikommutativ, also gilt $x\wedge y=-y\wedge x\quad \forall x,y\in \Lambda (V)$ und somit $a\wedge a=-a\wedge a=0$.14:23, 12. Jul. 2008 (CEST)

Ja das gibt allerdings keinen Sinn, was dort im Artikel steht und insbesondere wer hat die Antikomutativität rausgeschmissen? Warum entbrennt ausgerechnet jetzt die Diskussion um den Artikel? Er stand ein halbes Jahr in der Qualitätssicherung und da hat sich kaum jemand für interessiert. --Christian1985 14:32, 12. Jul. 2008 (CEST)

Das gibt schon Sinn, weil ja der Vektorraum selbst der ungeraden Komponente der graduierten Algebra angehört. Wir haben einen Teil, sagen wir A0, der geraden Elemente, also des Körpers und aller äußeren Produkte mit gerader Anzahl von Faktoren. Und A1, das den Vektorraum V und alle ungeradfaktorigen Produkte enthält. Das Produkt in A0 ist kommutativ, genauso das zwischen A0 und A1, das Produkt in A1 ist antikommutativ. Nichtsdestotrotz ist $(v\wedge w)\wedge (v\wedge w)=0$, aber $a\wedge a$ mit $a=u\wedge v+w\wedge x$ im Allgemeinen nicht, beliebte Übungsaufgabe.--LutzL 19:17, 12. Jul. 2008 (CEST)

Also ist die Grassmannalgebra nicht antikommutativ, wie es am Anfang des Artikels steht. Und wegen $\Lambda ^{0}(V)=V$ ist dann $a\wedge a\neq 0\quad \forall a\in \Lambda ^{k}(V)\quad \forall k>0$ gerade, oder? 14:58, 15. Jul. 2008 (CEST)

Nein, $\Lambda ^{0}(V)=\mathbb {K}$ und $\Lambda ^{1}(V)=V$. Der gerade Teil der graduierten Algebra ist $\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \ldots$ und der ungerade ist $\Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{3}(V)\oplus \ldots$. Nur das Produkt im ungeraden Teil, insbesondere das Produkt zweier Vektoren aus V, ist antikommutativ.--LutzL 15:29, 15. Jul. 2008 (CEST)

Das Ganze ist sozusagen der "Fluch der bösen Tat" : In der englischen Wikipedia ist das "wedge product" $a\wedge b$ allein für V definiert, hier für die ganze Algebra, also $a\wedge b=(-1)^{k\cdot l}b\wedge l\,,$ für Elemente aus $\,T^{k}(V)$ bzw. $\,T^{l}(V)$. Beide Versionen, die Deutsche wie auch die Englische, sind richtig, wenn auch unterschiedlich.

Das Entscheidende ist in beiden Fällen gemeinsam, das alternierende Verhalten nämlich (k=l=1 ist wesentlich, nicht k=l=0). Es sollte hier stärker betont werden (Vorbild ist die englische Wikipedia).

Auf jeden Fall sollte es (wie derzeit im Entwurf) besser "antikommutativ-graduiert" anstelle von "graduiert-kommutativ" heißen, weil beide Namen (der letztgenannte Name ebenfalls) zwar durchaus zutreffen (die Betonung liegt beim letztgenannten Namen auf "graduiert", nicht auf "kommutativ"), wobei aber das "kommutativ" irreführend ist, wie man an der hier geführten Diskussion sieht. - MfG, 87.160.67.51 10:46, 30. Sep. 2009 (CEST)

antikommutativ-graduiert

Kann mir jemand erklären, wie genau das zu verstehen ist? Die Fußnote hilft mir nicht weiter:

„D.h. die erzeugende Beziehung, k=l=1, der Graduierung ist antikommutativ, während man z.B. für k=l=2 ein kommutatives Produkt bekommt.“

Grüße --Chricho ¹ ² ³ 16:52, 23. Jun. 2012 (CEST)

Graduiert-antikommutativ ist wohl ein anderer Name für superkommutativ. Die englische Wikipedia hat unter en:Supercommutative_algebra einen Artikel zu dem Thema. Die Bezeichnung graduiert-antikommutativ soll wohl ausdrücken, dass die Multiplikation die Graduierung der Algebra berücksichtigt und dass die Multiplikation (je nach Graduierung) antikommutativ sein kann. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 18:21, 24. Jun. 2012 (CEST)

Wäre dann nicht graduiert-kommutativ besser (wie in der englischen Wikipedia), das wurde anscheinend durch obige IP ohne weitere Beachtung in antikommutativ-graduiert geändert. Graduiert-kommutativ ist meiner Meinung nach besser, da es anderswo auch gebraucht wird und da die Graduierung die Kommutativität beeinflusst, nicht umgekehrt. --Chricho ¹ ² ³ 18:26, 24. Jun. 2012 (CEST)

Ich selbst halte superkommutativ für am treffensten, aber den Begriff führt man wohl nur ein, wenn man sich der Terminologie der Supergeometrie bedienen will. Ob man nun antikommutativ-graduiert oder kommutativ-graduiert schreiben sollte, weiß ich nicht. Mein Eindruck ist, dass die Literatur da nicht eindeutig ist, es gibt auch einige Bücher, die einfach sagen, das Produkt sei antikommutativ und erklären dann, was sie in dem Fall damit meinen. Was hauptsächlich verwendet wird, kann ich nicht sagen. --Christian1985 (Diskussion) 18:41, 24. Jun. 2012 (CEST)

Dann ist vllt. superkommutativ am ehesten eine Bezeichnung, die auch weiterführt auf andere Fälle und rot-verlinkungswürdig ist? --Chricho ¹ ² ³ 18:48, 24. Jun. 2012 (CEST)

m-Bein

Aus dem Artikel:

"In der Physik heißen die Elemente von $\Lambda ^{m}V$ m-Vektoren oder „m-Beine“."

Gibt es einen Beleg für die Bezeichnung "m-Bein" für "m-Vektor"? In der Differentialgeometrie ist ein m-Bein ein Tupel aus m Vektoren, z.B. das begleitende Dreibein einer Raumkurve. --Digamma (Diskussion) 22:00, 12. Okt. 2012 (CEST)

Also Pseudoskalare werden sie jedenfalls genannt. --Chricho ¹ ² ³ 16:14, 4. Mär. 2013 (CET)

Ist Pseudoskalar ein Oberbegriff oder ist er gleichwertig zu Element der äußeren Potenz?--Christian1985 (Disk) 16:17, 4. Mär. 2013 (CET)

Naja, das Wort wird für alles mögliche benutzt (etwa auch für Felder, also m-Formen, für entsprechende Quantenfelder, und es passiert noch mehr, wenn man Raum- und Zeitdimensionen unterscheidet), gibt aber auch keinen geschlossenen Oberbegriff. Jedenfalls lässt ein Pseudoskalar im in der klassischen Mechanik gebrauchten Sinne als ein Element der $m$-ten äußeren Potenz auffassen. Sollte man vllt. lieber so formulieren. --Chricho ¹ ² ³ 16:31, 4. Mär. 2013 (CET)

Okey kannst Du es dann vielleicht wieder einbauen? --Christian1985 (Disk) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Habe es mal in den Abschnitt zum dreidimensionalen Fall ergänzt, mit ein paar weiteren Anmerkungen. --Chricho ¹ ² ³ 18:52, 4. Mär. 2013 (CET)

Die Frage nach dem m-Bein ist damit allerdings immer noch nicht beantwortet. Wisst ihr etwas dazu? --Digamma (Diskussion) 19:40, 4. Mär. 2013 (CET)

Ich weiß dazu nichts. Da auch kein Beleg angegeben war, ist die "Information" nun erstmal rausgeflogen.--Christian1985 (Disk) 20:00, 4. Mär. 2013 (CET)

Erscheint mir auch unplausibel. Unter einem Dreibein wird man doch eher eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ verstehen, und nicht nur das Spatprodukt solcher Vektoren. --Chricho ¹ ² ³ 20:09, 4. Mär. 2013 (CET)

Zu den m-Beinen könnte - wieder mal(!) - auf Lagally/Franz: Vorlesungen über Vektorrechnung, Leipzig 1964 oder 1967 verwiesen werden - dort ziemlich ausführlich, aber eben älter (und bei mir steckts z.Z. in einer der Umzugskisten). Schöne Grüße WMbrumm --89.199.239.31 21:51, 10. Mär. 2013 (CET)

In den "Schnipseln", die ich mir in der Google-Buch-Suche anschauen kann, finde ich zwar den Begriff "n-Bein" (S. 437), aber nicht in der Bedeutung von "n-Vektor", sondern in der Bedeutung von "n-Tupel" von Vektoren. Explizit z.B. das Frenetsche Dreibein (S. 63) bei Raumkurven. --Digamma (Diskussion) 22:54, 10. Mär. 2013 (CET)

Hallo Digamma, da's in einem Stapel in der 2.Kiste von oben steckte, konnte ich mir grade die 7. Aufl. von 1964 nochmal ansehen (m. W. die letzte), und die von dir gefundenen Seitenzahlen passen da nicht hin. Seit der teilweisen Neubearbeitung durch W. Franz (5. Aufl. 1955) trug das 6. Kapitel die Überschrift "Vektorräume höherer Dimension und Cliffordsche Algebra", dort ist im § 1 "Affine Vektorrechnung" zunächst vom m-Simplex die Rede, im § 2 "Vektoranalysis" erscheint in Nr. 223 (S. 330) "Einführung eines m-Beins". Na gut, das ist fast ein halbes Jahrhundert her, und manche Terminologie mag sich verschoben haben - oder hab ich was mißverstanden? WMbrumm.dd --89.199.205.247 00:13, 12. Mär. 2013 (CET)

Die Frage war nicht, ob es den Begriff "m-Bein" gibt, sondern die, was damit gemeint ist. Hier im Artikel wurde behauptet, "m-Bein" werde als Synonym für "m-Vektor", also für ein Element aus $\Lambda ^{m}(V)$, benutzt. Chricho und ich kennen "m-Bein" nur als Bezeichnung für ein n-Tupel von Vektoren, z.B. das begleitende Dreibein (Frenet-Dreibein) in der Theorie der Raumkurven. Und mit dieser Bedeutung habe ich das auch in der Google-Vorschau für das von dir genannte Buch gefunden. --Digamma (Diskussion) 14:44, 12. Mär. 2013 (CET)

Definition Hodge-Operator

@Christian1985: Ich denke, die Definition im Artikel ist falsch, denn bei

$\forall \eta \in \Lambda ^{k}V:\;\eta \wedge *\omega =\langle \eta ,\omega \rangle \cdot e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n},$

hängt nur die rechte Seite von der Basis ab. Skaliere ich einen der Basisvektoren, so ändert sich damit die rechte, aber nicht die linke Seite. --Jobu0101 (Diskussion) 11:22, 26. Sep. 2019 (CEST)

Ich denke, dass das eine Orthonormalbasis sein muss, bzw. zumindest $e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n},$ ein Einheits-n-Vektor. --Digamma (Diskussion) 23:42, 26. Sep. 2019 (CEST)

Lambda

Der Text benutzt $\Lambda$ für das Symbol $\bigwedge$. Ist das richtig? Ich muss gestatten es sieht schöner aus. --Madyno (Diskussion) 17:58, 2. Dez. 2022 (CET)

Keilprodukt zweier Vektoren

Ich habe versucht, dem Artikel zu entnehmen, wie man das Keilprodukt zweier Vektoren explizit ausrechnet - ohne Erfolg. Mein vorläufiges Ergebnis ist

$a\wedge b=ab^{\text{T}}-ba^{\text{T}}$,

wobei $a$ und $b$ reelle Vektoren gleicher Dimension in Spaltendarstellung sind.

Als Beziehung zwischen Skalar- und Keilprodukt bin ich auf

$\arccos(e_{a}\cdot e_{b})=\arcsin |e_{a}\wedge e_{b}|$

gekommen. $e_{a}$ und $e_{b}$ sind die Einheitsvektoren zu $a$ bzw. $b$ und |...| bezeichnet die Frobeniusnorm des eingeschlossenen Tensors.

Wenn das stimmt, schlage ich vor, dass jemand das im Artikel ergänzt, der mehr Mathematik als ich versteht und weiß, wo das am besten hinpasst. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:55, 26. Feb. 2023 (CET)

Die Frobeniusnorm des Keilprodukts entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Wenn die beiden Vektoren Einheitsvektoren sind, ist das gerade der Sinus des eingeschlossenen Winkels. --Digamma (Diskussion) 21:16, 26. Feb. 2023 (CET)

Zum Ausrechnen: Eigentlich braucht man nur die Beziehungen $e_{i}\wedge e_{i}=0$ und $e_{i}\wedge e_{j}=-e_{j}\wedge e_{i}$. Wenn $\{e_{i}\mid 1\leq i\leq n\}$ eine Basis von $V$ ist, dann ist $\{e_{i}\wedge e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ eine Basis von $V\wedge V$. --Digamma (Diskussion) 21:23, 26. Feb. 2023 (CET)

Mit $ab^{T}-ba^{T}$ erhältst du einen antisymmetrischen Tensor in Matrixdarstellung. Da stehen auf der Diagonalen Nullen und die Werte unter der Diagonalen unterscheiden sich von denen darüber durch das Vorzeichen. Der antisymmetrische Tensor ist also durch die Einträge oberhalb der Diagonalen bestimmt. Diese sind also die Komponenenten des Bivektors. --Digamma (Diskussion) 21:26, 26. Feb. 2023 (CET)

Danke Digamma. Ist es üblich, $\alpha$ als Winkel zu bezeichnen? Bei mehr als drei Dimensionen habe ich davon keine Vorstellung mehr. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:41, 26. Feb. 2023 (CET)

Ja, zwei Vektoren bzw. zwei sich schneidende Geraden schließen in jeder Dimension einen Winkel ein. Die beiden spannen eine Ebene auf und in dieser ist der Winkel definiert. Voraussetzung ist, dass es sich um einen euklidischen Vektorraum handelt, also ein Skalarprodukt definiert ist. --Digamma (Diskussion) 20:56, 27. Feb. 2023 (CET)

Danke Digamma, dann kann man also Winkel ohne Anführungszeichen schreiben. Gute Sprachregelung! --Modalanalytiker (Diskussion) 21:36, 27. Feb. 2023 (CET)

Zur Verwandtschaft des Keil- mit dem Kreuzprodukt gehört m. E., dass im Fall $n=3$ die Frobeniusnorm von $a\wedge b$ und und der Betrag von $a\times b$ gleich sind. Das ist bei

$a\wedge b={\frac {ab^{\text{T}}-ba^{\text{T}}}{\sqrt {2}}}$

der Fall. Sind Einwände zu erarten, wenn ich den Artikel so ergänze? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:16, 25. Jul. 2023 (CEST)

Ich kann das leider auf die Schnelle nicht beurteilen. Gibt es dazu eine Quelle? --Digamma (Diskussion) 22:07, 25. Jul. 2023 (CEST)

Die Quelle ist das Problem. Ich habe die ${\sqrt {2}}$ in einem Forumsbeitrag entdeckt, finde den aber jetzt nicht mehr wieder. Außerdem wäre der Beitrag auch keine seriöse Quelle. Ich habe mit der ${\sqrt {2}}$ eine Reihe numerischer (horribile dictu) Tests gemacht und gesehen, dass damit alles zusammen passt, aber mir fehlt die saubere Basis. Dazu kann ich nicht genug Mathematik. Ich muss sie nur anwenden. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:30, 25. Jul. 2023 (CEST)

Verständnisfrage: Es geht doch um den Zusammenhang zwischen Keil- und Kreuzprodukt. Müsste da nicht bei deiner Formel links ein Kreuzprodukt stehen? --Digamma (Diskussion) 22:35, 25. Jul. 2023 (CEST)

Die Formel liefert den Keilprodukttensor. Der erfüllt im 3-dim. Fall die Gleichung $||a\wedge b||=|a\times b|$, wenn ${\sqrt {2}}$ im Nenner steht. Das ist m. E. ein wichtiges Merkmal der Verwandtschaft von Keil- und Kreuzprodukt. ||...|| bezeichnet die Frobeniusnorm. --Modalanalytiker (Diskussion) 10:31, 26. Jul. 2023 (CEST)