Diskussion:Hexagonales Kristallsystem

Ich rechne seit Tagen an diesem Gitter herum und komme laufend auf ein anderes Ergebnis was die Höhe betrifft. Ich bin mir nicht sicher ob meine Annahmen Richtig sind: ALLE Atomabstände sind a. das eingelagerte Atom ist demnach auf der Spitze eines tetraeders. Höhe: h²=a²-b² mit b gleich der strecke von einem Eckpunkt zum Lot der Spitze auf die Grundfläche. b=(sin60°-sin30°)*1/2a=((Wurzel(3)-1)/4)a h²=(c/2)²=(2-wurzel(3))a²/8 c/a=Wurzel((2-wurzel(3))/4)

Ich glaube es steht außer Frage dass ich irgendwo einen Denkfehler gemacht habe, die frage ist nur Wo ist der Fehler, warum ist es Falsch und wie wäre es richtig.

Ich stelle die Frage hier, weil sie zur Berechnung der Einheitszelle im hcp gitter wichtig ist. Und die Antwort in den Artikel eingefügt werden sollte. (nicht signierter Beitrag von 85.233.32.160 (Diskussion) 12:03, 5. Aug. 2006 (CEST))

Ist eine dichteste Kugelpackung nicht immer auch kubisch (ich glaube kubisch raumzentriert)? --Paco001 09:59, 19. Nov. 2006 (CET)

Ist das Bildbeispiel für eine hexagonale Pyramide nicht eine hexagonale Dipyramide? (nicht signierter Beitrag von 82.82.167.143 (Diskussion) 10:31, 13. Jul. 2008 (CEST))

Der meinung bin ich auch. aber heißt es nicht eigentlich Bipyramide?Amy87 21:48, 5. Feb. 2009 (CET)

Anzahl der Atome in der Elementarzelle

Die Basis der hexagonalen Zelle enthält 2 Atome. Diese Zahl steht auch so im Kittel Festkörperphysik. Das eine Atom liegt in der Ebene ( h,k,1/2) das 2. ist ein (beliebiges) Eckatom der Elemetarzelle.

Da alle Eckatome der Elementarzelle bezüglich der Gittertranslationen äquivalent sind, zählen sie wie 1 Atom. Diese Rechnungen, mit welchem Faktor jedes einzelne Eckatom zählt, sind sinnlos und führen nur zu Fehlern.

-- Brusel 21:56, 30. Jan. 2011 (CET)

kleine Korrektur: Die hexagonale Zelle (genauer: das einzige hexagonale Bravaisgitter, nämlich das primitive) enthält 1 Atom. Die hexagonal dichteste Kugelpackung enthält 2 Atome (je Elementarzelle).--Sbaitz 16:07, 2. Feb. 2011 (CET)

QS

Die Grundfläche der hexagonalen Zelle ist kein 6-Eck, sondern eine Raute mit einem Winkel von 120°. Die hexagonalen Achsen sind im Artikel trigonales Kristallsystem erklärt. Eine hexagonale Elementarzelle ist auch in dem 2. Bild auf der Seite mit durchgehenden Strichen dargestellt.

Die Berechnung zur hcp-Struktur ist daher auch falsch. Die Basis der hcp-Struktur besteht aus 2 Atomen. Für die Struktur habe ich folgende Angaben gefunden:

Raumgruppe: P6₃/mmc No. 194 Besetzte Atomlage: 2c ⅓,⅔,¼ und ⅔,⅓,¾

Dies bedeutet, dass die Atome nicht auf den Eckpunkten der hexagonalen Zelle sitzen, mit der die Struktur beschrieben wird.

Hat jemand Zugang zu einer Strukturdatenbank und kann diese Angaben bestätigen (z.B Struktur von Mg oder Be) ? Mit Literaturangabe am besten ;-)

-- Brusel 18:26, 31. Jan. 2011 (CET)

Quetsch: die Punktlagen stimmen. Dass die Atome nicht im Nullpunkt liegen, ergibt sich dadurch, dass der Nullpunkt durch die 6₃-Achse (höchste Zähligkeit) und die darauf liegenden Symmetriezentren festgelegt wird. Auf der 2. Abb. im Artikel würde die 6₃-Achse mitten in den "freien" Dreiecken verlaufen, mit Symmetriezentren in z=1/4 u. 3/4. (Wenn man lange genug daraufguckt, sieht man das auch :-) )--Sbaitz 17:17, 2. Feb. 2011 (CET)

Diese Daten sind verdammt schwer zu finden. Im Warren x-ray-Diffraction stehen als Atomlagen (0,0,0) und (⅓,⅔,½), im Kopitzki Festkörperphysik: ...das 2. Atom der Basis hat die Koordinaten (⅔,⅓,½), wobei das 1. vermutlich bei (0,0,0) liegen soll. In beiden Fällen war keine Raumgruppe angegeben. Diese Angaben haben aber nicht zur RG Nr. 194 gepasst, die ich im Netz gefunden hatte. Andere Lehrbücher machen gar keine Angaben. Daher habe ich um eine Literaturangabe gebeten. -- Brusel 18:38, 2. Feb. 2011 (CET)

Wenn man die Symmetrie ignoriert (was für die meisten Zwecke legitim ist), ist (0,0,0)+(⅓,⅔,½) völlig in Ordnung (und wahrscheinlich im ersten Moment anschaulicher als die andere Angabe). Erst wenn man da die Symmetrieelemente einzeichnet, merkt man, wie "schief" das eigentlich ist. Ich kenne für die hdp auch keine Stelle (außer den Internationalen Tabellen), wo die Punktlagen anders als (0,0,0)+(⅓,⅔,½) angegeben wäre. Aber: Die Raumgruppe ergibt sich zwangsläufig aus der Struktur, und die "korrekte" Lage des Nullpunktes dann schon anschaulich aus der Symmetrie (und den Regeln der Internationalen Tabellen). Dafür braucht man keine weitere Literaturangabe (auch wenn es schön wäre, eine zu haben!)

In den Artikel sollte man mMn die "korrekten" Punktlagen nur einbauen, wenn man auch ein Bild mit den Symmetrieelementen dazu hat (dann wird die Ursprungswahl intuitiv verständlich). Die andere Darstellung ist auch in "guter" Fachliteratur zu weit verbreitet (im Gegensatz zur sechseckigen EZ).--Sbaitz 19:25, 2. Feb. 2011 (CET)

Nachtrag: Hier ist ein Beleg: Lothar Spieß, Robert Schwarzer, Gerd Teichert, Herfried Behnken: Moderne Röntgenbeugung: Röntgendiffraktometrie für Materialwissenschaftler, Physiker und Chemiker. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0166-1.  -- S. 57 unten und S. 64, Bild 3.12 a) + b) --Sbaitz 21:39, 3. Feb. 2011 (CET)

"Die Atome befinden sich innerhalb der Elementarzelle auf den kristallographischen Lagen [2/3, 1/3, 1/4] und [1/3, 2/3, 3/4]." Den Satz finde ich so, ohne neue Angabe des Ursprungs, nicht haltbar. Ich würde empfehlen, (⅓,⅔,½) anzugeben. So wie es jetzt im Text ist, ist es nicht nachvollziehbar. (nicht signierter Beitrag von Benutzername/IP (Diskussion | Beiträge) Uhrzeit, Tag, Jahr) (nicht signierter Beitrag von 85.181.229.172 (Diskussion) 00:14, 15. Nov. 2011 (CET))

Hallo Brusel, mag ja sein, dass ein Physiker oder Kristallograph etwas anderes unter einer Elementarzelle des hexagonalen Kristallsystems versteht. Für einen Metaller (und dazu zähle ich mich auch) ist aber die aktuell beschriebene Version (vergleiche auch 1. Bild) die korrekte Beschreibung einer einer solchen Elementarzelle. Wenn du mir eine Mail schickst, kann ich Dir dazu auch eine Skizze schicken, die in meinem "Techniker Handbuch" (von Alfred Böge) zu sehen ist und die die 3 gebräuchlichsten Elementarzellen in der Werkstoffkunde (krz, kfz, hdp) beschreibt. Gruß -- Ra'ike ^Disk. _LKU ^WPMin 21:42, 31. Jan. 2011 (CET)

P.S.: Noch ein Tipp: Wenn Du im Artikel schon einen QS-Baustein setzt, solltest Du den Artikel auch auf der entsprechenden QS-Seite der Redaktion Physik listen.

Hallo Ra'ike. Die Darstellungen der Struktur sind schon richtig. Das 2.Bild stellt allerdings 3 Elementarzellen dar! In allen Büchern, die ich zum Thema Kristallsysteme kenne, ist das hexagonale Achsensystem gekennzeichnet durch 2 gleichlange Vektoren, die einen Winkel von 120° einschließen (a1 und a2) und einen senkrecht zu dieser Ebene stehenden Vektor (c), der in Richtung einer 6-zähligen Drehachse liegt. Die Vektoren a1 und a2 sind im Bild 2 die mit festen Linien gezeichneten Strecken, die vom Mittelpunkt des Sechsecks ausgehen. Mit ihnen lassen sich alle anderen Punkte des Sechsecks beschreben: a1+a2; -a1; -a2; -a1-a2. Die Grundfläche des Sechsecks ist daher dreimal so groß, wie die Grundfläche der hexagonalen Elementarzelle. Diese Darstellung ist auch der in den International Tables of Crystallography vorgegebene Standart. Es macht aus vielen Gründen Sinn, sich an diesen zu halten. Er ist auch im Artikel Trigonales Kristallsystem, das ein hexagonales Achsenkreuz benutzt, so beschrieben.

Wenn man diese 6-eckige Elementarzelle zugrundelegt, müssten die Gitterkonstanten um den Faktor ${\sqrt {3}}$ länger sein, als in der normalen Literaur (vgl. z.B Mineralienatlas) angegeben ist. So kannst du einfach kontrollieren, ob bei der Beschreibung tatzächlich diese unübliche Elementarzelle verwendet wurde.

@P.S. Ich bin noch nicht lange aktiv. Bislang dachte ich, diese Eintragung in QS-Physik würde automatisch geschehen. Daher Danke für den Hinweis.

-- Brusel 00:50, 1. Feb. 2011 (CET)

@Rai'ke: Steht in deinem Buch wirklich "die 3 gebräuchlichsten Elementarzellen in der Werkstoffkunde (krz, kfz, hdp)" - wenn ja, dann ist das Buch als Quelle ungeeignet: Das sind keine Elementarzellen, sondern eben Kugelpackungen. Die Elementarzellen sind bei krz und kfz die gleiche, nämlich die kubische EZ (allerdings mit unterschiedlicher Zentrierung), beides sind Bravaisgitter. Die hdp ist kein Bravaisgitter, sondern eine Struktur mit zwei nicht translatorisch identischen Atomlagen; die zugehörige Elementarzelle ist die hexagonale=trigonale!. Und: Eine EZ ist immer ein Parallelepiped. (Nicht sauber zwischen EZ, KP und Bravaisgitter unterscheiden können, wäre auch für Werkstoff-/Metallkundler ausreichend, eine Prüfung nicht zu bestehen. Das ist eigentlich zu elementar.)

In diesem Artikel (und anscheinend auch im genannten "Techniker Handbuch") gehen Elementarzelle und Kugelpackung in unzulässiger Weise durcheinander. Das muss klarer getrennt werden!--Sbaitz 16:02, 2. Feb. 2011 (CET)

Wie gesagt, ich kann die betreffende Seite mit der Information, die übrigens nicht nur im Böge (Das Techniker Handbuch), das eigentlich zu den Standardwerken für Techniker gehört, steht sondern auch im Domke Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung (ebenfalls ein, wenn auch weniger umfangreiches, Standardwerk), gerne mal zuschicken. Dafür müsstet ihr, Brusel und Sbaitz, mir aber eine kurze Mail schicken, damit ich die E-Mail-Adresse erhalte, wohin ich die Bilder schicken muss.

Im Böge steht oben über dem betreffenden Bild groß und deutlich Elementarzellen und darunter kubisch-flächenzentriert, kubisch-raumzentriert und hexagonal mit den entsprechenden Gitterzeichnungen sowie den möglichen Gleitebenen (die in der Werkstoffkunde von großer Bedeutung sind und darunter nochmal "Elementarzellen der Metallgitter mit Gleitmöglichkeiten (Idealkristall)". Die dazugehörige hexagonale Zelle sieht ungefähr wie hier aus und die dazugehörige Beschreibung findet sich schon eine Seite vorher: "Bild II.1 zeigt die Elementarzellen (kleinster, regelmäßiger, sich periodisch angliedernder Ausschnitt aus dem Kristallgitter). [...] Durch räumliches Aneinanderreihen der E-Zellen ergibt sich ein fehlerloses Kristallgitter, der Idealkristall."

Im Domke steht das Bild ebenso und die Beschreibung: "Jede dichtest gepackte hexagonale Elementarzelle benötigt im Raumgitter 12 • 1/6 + 2 • 1/2 + 3 = 6 Atome [...]" (die dazugehörigen Elementarzellen des kubischen Systems sehen natürlich entsprechend so und so aus).

Ehrlich gesagt habe ich eher das Gefühl, dass hier einiges zwischen trigonalem und hexagonalem Kristallsystem durcheinander gebracht oder verflochten wird. Das zweite Bild hier entspricht in etwa dieser trigonalen Zelle, nur dass man sie eben 3x in die hexagonale Zelle einfügen kann.

Im Okrusch/Matthes (Mineralogie) lässt sich übrigens zum hexagonalen Kristallsystem auch noch nachlesen: "Hauptachse c ist eine 6-zählige Drehachse oder Drehinversionsachse; senkrecht dazu stehen drei Nebenachsen a₁, a₂ und a₃. (wobei a₁=a₂=a₃≠c; α=β=90°; γ=120°)" Wenn die im hiesigen Bild 2 dargestellte Elementarzelle eine hexagonale sein soll, wo ist denn dann die 3. a-Achse hingekommen?. Gruß -- Ra'ike ^Disk. _LKU ^WPMin 13:04, 3. Feb. 2011 (CET)

Ok, es scheint da tatsächlich so zu stehen. Davon wird es nicht richtiger. Ich versuche mal, das stückweise aufzudröseln:

1. Vermischung hexagonal-trigonal: Die sind tatsächlich verflochten - das ist aber kein Fehler, sondern eine unangenehme Eigenheit dieser Kristallsysteme. Genau genommen ist es nämlich das gleiche Kristallsystem: a₁=a₂(=a₃)≠c; α=β=90°; γ=120° (Kristallsysteme sind [nur] über Achsenverhältisse und Winkel definiert). Die Unterscheidung zwischen trigonal und hexagonal ergibt sich allein durch die Symmetrie: 6zählige Drehachse = hexagonal, 3zähl. (aber keine 6zähl.) = trigonal.

2. Die Überschneidung der beiden Kristallsystem wird deutlich bei der trigonal(!)-dipyramidalen Kristallklasse: Beschreibt man die Symmetrie dort als Drehinversion ${\bar {6}}$, ist es hexagonal - beschreibt man sie (wie Schönflies) als Drehspiegelung (hier = 3/m), dann ist es trigonal. Die Wahl der Beschreibung (mehr ist es nicht) ist völlig willkürlich - und entscheidet über die Zuordnung zum Kristallsystem. Spätestens jetzt sollte klar sein, dass die Verflechtung "im System liegt".

3. Bravaisgitter: Es gibt ein(1) hexagonal=trigonal primitives BG (s. 1. Abb. hier). Dieses Gitter ist für hexagonale Raumgruppen (z.B. P6) und trigonale (z.B. P3) identisch: Gleiches Achsensystem, gleiches BG, gleiche EZ (nämlich die mit rautenförmiger Grundfläche in Bild 2. (Außerdem gibt es noch das rhomboedrische Gitter (R) als Spezialfall.) Die von dir genannte trigonale Zelle ist vollkommen identisch mit der hexagonalen EZ.

Jetzt ein offensichtlicher Fehler:

4. "Bild II.1 zeigt die Elementarzellen (kleinster, regelmäßiger, sich periodisch angliedernder Ausschnitt aus dem Kristallgitter). [...] Durch räumliches Aneinanderreihen der E-Zellen ergibt sich ein fehlerloses Kristallgitter, der Idealkristall." - "kleinster sich periodisch angliedernder Ausschnitt" ist die "rautenförmige" Zelle, die im Falle der hdp 2 Atome enthält. Das kann man durch Aufmalen leicht selbst nachprüfen.

Elementarzelle ist (wie richtig geschrieben) definiert als kleinste Baueinheit. Und Elementarzellen sind immer Parallelepipede (Dafür fehlt mir im Moment ein Beleg; ich versuche, den nachzuliefern) - eigentlich ergibt sich das aber geometrisch zwangsläufig aus der Def. als kleinste Baueinheit, die durch periodisches Aneinanderreihen das Gitter ergibt: 3 (linear unabh.) Translationsvektoren reichen, um einen 3-dim. Raum zu füllen, und sie definieren genau ein Parallelepiped.

Die "sechseckige" Zelle ist nicht die kleiste Einheit!

(Ausnahmen gibt es tatsächlich, nämlich alle nicht-primitiven Bravaisgitter. Dort hat aber die wirklich kleinste Einheit Kanten, die nicht mehr parallel zu Symmetrieelementen verlaufen. Deshalb wählt man dort nicht die kleinste, sondern zentrierte Elementarzellen. - Das gilt hier aber nicht: a- und c-Achsen sind für beide Zellen (Sechseck und Raute) gleich, und parallel zu den möglichen Symmetrien).

5. Wo ist die a₃-Achse? - Sie ist natürlich da (als kürzere Diagonale der Grundfläche). Die Symmetrie ist bei einer einzelnen EZ nicht erkennbar, da hast du recht. Aber ist sie das bei der sechseckigen hier? Siehst du dort die 6zählige Drehachse? (Die Struktur hat ja, wie oben geschrieben, eine 6₃-Achse). Um die Symmetrien einer Struktur (und dazu gehört auch die dritte Achse) erkennen zu können, braucht man eigentlich immer mehrere Elementarzellen.

Ich gebe zu, dass das alles unübersichtlich ist. (Es wäre einfacher, würde man das trigonal/hexagonale Kristallsystem in einem einzelnen Artikel behandeln - und die hexagonal dichteste Kugelpackung in einem anderen.)

Sind wir uns zumindest einig, dass (a) die sechseckige Zelle nicht die kleinste Baueinheit ist, dass (b) die EZ als "kleinste Baueinheit" definiert ist, und dass damit (c) die sechseckige Zelle nicht die EZ sein kann? (Und das damit das, was im Böge steht, zumindest inkonsistent ist?) --Sbaitz 20:07, 3. Feb. 2011 (CET)

Nachtrag: Belege für EZ=Parallelepiped: [1], [2], [3] - also auch Ingenieure sehen das so.--Sbaitz 23:33, 3. Feb. 2011 (CET) -- Hmmm. Sehe gerade, das auch da 2x die sechseckige EZ abgebildet ist - im Widerspruch zur Def. der EZ als Parallelepiped ein paar Seiten vorher! Entweder wissen die nicht, was ein Parallelepiped ist, oder sie haben nicht verstanden, was sie da eigentlich schreiben ... --Sbaitz 00:18, 4. Feb. 2011 (CET)

Hehe, Dein letzter Beleg ist wirklich gut. Erst wird geschrieben, dass die Elementarzelle ein durch drei Vectoren aufgespanntes Parallelepiped ist (C22) und zwei Seiten später (C24) sieht man auf Bild 7-2 eine wunderschöne 6-eckige (hexagonale) Elementarzelle. Es liegt also imho weniger daran, dass unter anderem meine "Techniker-Literatur" nicht so fachkundlich oder genau wie die der "Studierten" ist sondern vielleicht eher daran, dass der Begriff Elementarzelle nicht einheitlich definiert und verwendet wird.

Das erinnert mich übrigens daran, dass wir bei der Definition der Geode (und im Zuge dessen auch Druse und Mandel) das gleiche Problem hatten. Nach einiger Diskussion ließ sich eine gute Kompromisslösung finden.

Sollte hier imo doch auch möglich sein, zumal der Artikel hier sowieso fachlich von Grund auf überarbeitet werden müsste, um ihn für jeden Bereich (Kristallograph, Geologe/Mineraloge, Ingenieur/Techniker, Laie) verständlicher zu machen. Vor allem braucht's aussagekräftigere Bilder nicht nur von der Elementarzelle sondern auch von einem größeren Zellverband, wo die hexagonale Zelle farblich herausgehoben wird. Auch die Aufteilung der Atome auf die benachbarten Zellen ließe sich so vielleicht besser darstellen. Mir steht leider kein vernünftiges Zeichenprogramm mehr zur Verfügung, als dass ich Grafiken beisteuern könnte. Gruß -- Ra'ike ^Disk. _LKU ^WPMin 10:53, 4. Feb. 2011 (CET)

Ja, dass auch die "studierten" Ingenieurbücher die sechseckige "EZ" enthalten, hat mich erschreckt :-). Aber ich betone noch einmal: Die Inkonsistenz existiert innerhalb desselben Buches ([4], [5]). Bei der Definition einer Elementarzelle sind sich alle (Ingenieure/Metaller wie Physiker, Mineralogen, Kristallographen) einig. Die letzteren verwenden eine EZ, die dieser Definition entspricht. Die Ingenieure verwenden eine EZ, die mit ihrer eigenen Def. nicht vereinbar ist! Ich würde für den Artikel die widerspruchsfreie Variante bevorzugen.

Was die Verständlichkeit angeht, sind wir uns einig: größerer Zellverband, farbige Zelle (gern beide Varianten - mit dem Hinweis, dass das Sechseck nach Def. "eigentlich" keine EZ ist).

Aus Interesse: Wie ist der Begriff Elementarzelle in den von dir genannten Büchern definiert? Könntest du mir die entsprechenden Stellen noch schicken? --Sbaitz 11:24, 4. Feb. 2011 (CET)

(BK) Ich sehe wie Sbaiz auch die Definition der Elementarzelle als die kleinstmögliche Einheit, aus der durch Verschiebung das gesamte Gitter aufgebaut werden kann, als die einzig mögliche und sinnvolle an. Dieses muss logischerweise immer ein Parallelepiped sein, da man jede größere Einheit immer noch weiter gemäß der Definition zerlegen und auf Parallelepipede zurückführen kann. So sieht das übrigens auch die IUPAC. Wenn jemand was anderes als Elementarzelle sieht, liegt er m.E. einfach falsch und hat die Kristallographie(und nur diese und nicht die Techniker oder jemand anderes hat diese Begriffe festgelegt) nicht verstanden. Sechseckige Strukturen wie dieses sind nur willkürlich (mit zwei ganzen und zwei halben Elementarzellen) gewählt, um die Bezeichnung "hexagonal" einfach erklären zu können, man könnte genauso einen anderen Ausschnitt oder eine andere Blickrichtung wählen, in der dann diese Sechsecke nicht mehr so klar zu erkennen sind. Das schöne an diesem Bild ist, dass man dort sowohl die Elementarzelle (durchgezogene Linien) als auch einige weitere Elementarzellen mit gestrichelten Linien eingezeichnet sind, so dass auch die Sechseck-Form deutlich wird. Viele Grüße --Orci Disk 11:38, 4. Feb. 2011 (CET)

Die Unterscheidung zwischen hexagonalem und trigonalem Kristallsystem ist historisch bedingt und birgt viele Probleme. Dies ist auch dadurch bedingt, dass gilt: ${\bar {6}}=3/m$ und ${\bar {3}}=6/m$. Diese Drehachsen lassen sich daher gar nicht so einfach in 3 bzw. 6 zählig einteilen.

<dazwischenquetsch> Das sehe ich jetzt erst: ${\bar {6}}=3/m$ stimmt, ${\bar {3}}=6/m$ stimmt nicht (ein Rhomboeder ist keine hexagonale Dipyramide ). So symmetrisch ist die Kristallographie dann leider doch nicht :-). Trotzdem: das ist genau das Problem. --Sbaitz 20:56, 4. Feb. 2011 (CET)

Doch, das stimmt und ist nicht auf die Kristallographie beschränkt. Man kann jede Drehinversionsachse durch eine Drehspiegelachse beschreiben und umgekehrt. Daher kann man die Punktgruppen entweder nur mit Drehinversionsachsen (Hermann-Mauguin) oder nur mit Drehspiegelachsen (Schönflies) beschreiben. Allgemein gilt für jede natürliche Zahl n: ${\bar {4n}}={\frac {4n}{m}}$ ; ${\bar {2n+1}}={\frac {4n+2}{m}}$ und ${\bar {4n+2}}={\frac {2n+1}{m}}$. Siehe D. Schwarzenbach Kristallographie S. 35.

--Brusel 16:46, 6. Feb. 2011 (CET)

6/m ist nach Hermann-Mauguin keine Drehspiegelachse (1 kombinierte Operation), sondern eine 6zähl. Achse + eine Spiegelebene (2 Operationen nebeneinander). Bei den ungeradzahligen ist das das gleiche ( ${\bar {6}}$ = S₃ = 3/m), bei den geradzahligen nicht: ${\bar {3}}$ = S₆ ≠ 6/m ! Wenn Schwarzenbach Drehspiegelachsen als 3/m schreibt, hast du recht - das ist aber mit der Hermann-Mauguin-Schreibweise nicht vereinbar (und dadurch verwirrend), da bedeutet es eben 3 + m. --Sbaitz 17:05, 6. Feb. 2011 (CET)

Vielen Dank für die Info. Da habe ich wohl etwas verwechselt. Ich habe gerade den Artikel Elementarzelle überarbeitet. Kannst du da mal drüberschauen? Gruß --Brusel 17:52, 6. Feb. 2011 (CET)

Wie im Artikel Kristallsystem beschrieben kann man das Trigonale als eigenständiges Kristallsystem daher ersatzlos streichen und alles dem hexagonalen Kristallsystem zuordnen. Beide Kristallsysteme werden daher in der Regel im selben Achsensystem beschrieben. Die daraus resultierende Elementarzelle die hier dargestellte. Die a3-Achse ist allerdings falsch angegeben!

@ Sbaitz Die Zuordnung der Raumgruppen zum trigonalen System ist aber trotzdem eindeutig: Das trigonale System besteht aus all den Raumgruppen, die eine Untergruppe einer kubischen Raumgruppe sind. Daher kommt auch die Bezeichnung rhomboedrisch. Ein Rhomboeder ist eine entlang der Raumdiagonale gestreckter oder gestauchter Würfel. Die 3-Zähligkeit der Raumdiagonale bleibt dabei erhalten.

@Ra'ike Die von die zitierte 3-Achse in der Ebene senkrecht zur 3 bzw. 6 –zähligen Achse ist die Achse $-({\vec {a_{1}}}+{\vec {a_{2}}})$. Diese Achse kommt aus der Beschreibung der Kristallflächen durch Miller und ist im Artikel Millersche Indizes erklärt. Es gibt diese Achse im hexagonalen und trigonalen System. Sie wird in der Mineralogie noch heute verwendet. Da aber ein 3-dimensionaler Raum nur 3 Basisvektoren hat, ist sie zur mathematischen Beschreibung überflüssig. Der zusätzlich Miller-Index kann aus den anderen 3 immer errechnet werden.

Die Frage ist grundsätzlich, wie geht man mit Unsinn um, der in Lehrbüchern verbreitet wird. Sollten Artikel in Wikipedia kritisch mit Behauptungen in der Literatur umgehen, wie man es von wissenschaftlichem Umgang mit Dokumenten erwarten kann oder wird alles ungeprüft übernommen?

@ Sbaitz Bei dem Versuch, den Artikel Kristallsysteme neu zu schreiben bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Kristallsysteme werden als Holohedrie des Punktgitters definiert. Da aber das hexagonale und das trigonale System dasselbe Punktgitter haben, müssten sie auch dieselbe Holohedrie haben! Der Unterschied zwischen ${\bar {3}}m$ und 6/mmm = ${\bar {3}}mm$ besteht doch nur aus einer Spiegelebene senkrecht zu $-({\vec {a_{1}}}+{\vec {a_{2}}})$ die doch auch im trigonalen Punktgitter vorhanden ist.

-- Brusel 12:19, 4. Feb. 2011 (CET)

Was mich angeht, dürfen die in verschiedenen Fachbüchern verbreiteten Ungenauigkeiten und irreführenden Vereinfachungen gerne im Artikel kritisch betrachtet und korrigiert werden. Ich selbst steckte nie so tief in der Kristalltheorie, da es berufsbedingt nicht nötig war. Deshalb vermute ich auch, dass man versucht hat, die Einführung in die Grundlagen zum Aufbau der Metalle zu kürzen und zu vereinfachen, was leider zu den entsprechenden Fehldarstellungen geführt hat und zu allem Unglück auch noch teilweise rückübernommen wurde.

Die Beschreibungen und Erklärungen von Sbaitz und Brusel in Bezug auf die hexagonale Elementarzelle und die enge Verwandtschaft von trigonalem und hexagonalem Kristallsystem sind für mich jedenfalls durchaus einsehbar und logisch, nur saß halt bisher immer das das falsche Bild im Kopf (und bestimmt nicht nur in meinem, aber ich arbeite daran, das zu korrigieren ;-) ). Gruß -- Ra'ike ^Disk. _LKU ^WPMin 13:45, 4. Feb. 2011 (CET) P.S.: Noch etwas zur Reihenfolge der Kristallklassen, weil das in der Redaktion Physik angesprochen wurde: Reihenfolge und einige Mineralbeispiele wurden der Symmetrielehre der Kristallographie (von Borchardt und Turowski) entnommen und dort geht's immer vom höchstsymmetrischen zum niedrigstsymmetrischen Körper wie sie auch hier zu finden ist.

(BK) @Brusel: Zum letzen Punkt: Ein Problem ist die Definition von "Kristallsystem". Der Kleber ([6]) unterscheidet Kristallfamile und Kristallsystem. Hinsichtlich Metrik (Achsensystem/Elementarzelle) und Bravaisgitter gibt es keine Trennung zwischen trigonal und hexagonal (das ist die hexagonal-trigonale Kristallfamilie). Erst unter Einbeziehung der Symmetrie kann man beide trennen (trigonales und hexagonales Kristallsystem). Die Def. der Kristallsysteme stammt historisch aus der Einteilung der Kristallklassen, also makroskopischer Symmetrie. Das steht hier ganz schön: [7], S.57: "Kristallsysteme stellen eine Klassifizierung der kristallographischen Punktgruppensymmetrien (Kristallklassen) dar. Sie sind keine Einteilung verschiedener Metriktypen. Die Symmetrie bestimmt die metrischen Zusammenhänge, nicht aber die Metrik die Symmetrie."

Definition als "Holoedrie des Punktgitters" ist mir neu (Quelle?).

Dass die Trennung hex/trig nicht mathematisch zwingend ist sondern bestimmt durch willkürliche Übereinkunft, haben wir ja oben schon geschrieben. Wählt man Drehinversionsachsen, gehört ${\bar {6}}$ zum hexagonalen System, wählt man Drehspiegelungen, gehört S₃ zum trigonalen. Mathematisch sind beide Operationen völlig identisch (${\bar {6}}$ = S₃ = 3/m). Aber nicht rhomboedrisch. Definiert man trigonal über rhomboedrisch, dann hast du recht.

Das Problem der Trennung hexagonal-trigonal ist da und kann von uns nicht gelöst, sondern (nur möglichst verständlich) beschrieben werden.

Dass die Raumgruppen zwischen trigonal und hexagonal unterscheiden, ist eine Folge der Einteilung der Kristallklassen, da ja jede Raumgruppe eindeutig einer Punktgruppe zugeordnet ist. Die Einteilung ist aber, wie gesagt, nicht "naturgegeben".

Folgerungen/Wünsche:

1. Die Artikel Elementarzelle und Kristallsystem müssten wahrscheinlich überarbeitet werden, um die Definition (oder Definitionen) noch schärfer/klarer darzustellen. Im Moment bin ich mit beiden nicht zufrieden.

2. Artikel Hexagonales Kristallsystem und Trigonales Kristallsystem zusammenfassen, dort EZ, Bravaisgitter (primitiv bei beiden gleich) und Kristallklassen behandeln. Eigenen Abschnitt für das Problem der Abgrenzung beider Systeme voneinander. (Brauchbare Quellen wären die beiden von mir hier genannten; gerne auch "Metaller"-Bücher, wenn sie abweichende, aber explizit formulierte Definitionen geben.)

3. Kristallsystem und hexagonal dichteste Kugelpackung trennen. Die Vermengung beider steigert offensichtlich die Verwirrung noch. Die hdp wäre mMn besser im Artikel Dichteste Kugelpackung aufgehoben. --Sbaitz 14:14, 4. Feb. 2011 (CET)

Zu meiner Frage: Die Formulierung ist nicht gut. Holoedrien sind definiert als die Symmetrie des Gitters (ohne die Basis). Es muss also heißen Holoedrie der Raumgruppe. Es gibt 7 Holoedrien, die den Kristallsystemen entsprechen. Diese Idee habe ich im Internet gefunden: [1], [2] und [3] . Es verträgt sich auch mit der [Definition der Holohedrie]. Ich denke, das dies ein verständlicher Weg ist, die Einteilung in Kristallsysteme zu erklären.

Zur Trennung Trigonal/Hexagonal: das ist für mich die einzig verständliche Enteilung.

Zur Einteilung der Artikel: Zustimmung.

Wir unterhalten uns im übrigen nicht mehr über Symmetrien. Punktgruppe wurde da gerade ersatzlos gestrichen.

--Brusel 18:08, 4. Feb. 2011 (CET)

Ah, ok. Es ist sicherlich ein verständlicher Weg, die Einteilung in Kristallsysteme zu erklären. Ich bin aber noch nicht sicher, dass es der einzige Weg ist.

Die Klassifikation als trigonal folgt aus der Existenz des R-Gitters (a=b=c, γ≠90°) mit Holoedrie ${\bar {3}}m$. Bei den Raumgruppen entspricht dieses Gitter dem Bravaisgitter R. Bis dahin ist es eindeutig: R3xx ist sicher trigonal, P6xx ist sicher hexagonal. - Aber was ist mit den Raumgruppen P3xx (P3, P321, P31m usw.) - trigonal oder hexagonal? Sie haben ja gerade kein rhomboedrisches Gitter; das Bravaisgitter ist das hexagonal-primitive. Nach der Argumentation über die Gitter müsste/könnte man P3 usw. als hexagonal ansehen!

Ich habe das Gefühl, man findet keine vollkommen eindeutige Trennung dieser Kristallfamilie. Zumindest stösst man immer wieder auf Eigenheiten, die verwirren ... --Sbaitz 19:03, 4. Feb. 2011 (CET)

Orthohexagonale Zelle

Fällt mir gerade ein: Die fehlt hier auch noch. Auch im hexagonalen System gibt es eine rechtwinklige Zelle (mit Zentrierung der Basisfläche), s. z.B. [8], die manchmal verwendet wird ([9]). Sollte zumindest erwähnt werden. --Sbaitz 21:13, 7. Feb. 2011 (CET)

Das ist eine C-zentrierte orthogonale Zelle mit einem a/b Verhältnis von 1 : ${\sqrt {3}}$.--Brusel 22:34, 7. Feb. 2011 (CET)

oder 1 : 2·sin(60°), genau :-). Sollte als Begriff (und am besten auch als Bild) mit rein. Vielleicht sucht das ja mal jemand. --Sbaitz 23:45, 7. Feb. 2011 (CET)

Bild 3: Die (h,k,0)-Ebene des hexagonalen Achsensystems

Ich habe folgendes Problem mit dem Bild 3: Die den Punkt (000) umgebenden Punkte sind in der Abbildung (100), (110), (010), (-100), (-1-10), (0-10). Nutz man diese um mit 1/d^2 = 4/3 * (h^2+k^2+k*h)/a^2 + l^2/c^2 (Aus W. Kleber "Einführung in die Kristallographie") die passenden Netzebenenabstände zu berechnen kommt nicht wie erwartet bei jedem der 6 Kombinationen das gleiche raus. Kann es sein, dass das eigentlich (100), (1-10), (0-10), (-100), (-110), (010) sein müssen? (und entsprechend die höher indizierten) Gut, wahlweise könnte auch die Fromel falsch sein und dort ein - statt + vor k*h stehen. Gibt es dafür irgendwo eine Konvention? (nicht signierter Beitrag von 141.20.76.96 (Diskussion) 20:26, 18. Nov. 2013 (CET))

Dein Fehler liegt darin, dass du eine Formel für millersche Indizes (hkl) auf Punktkoordinaten [xyz] anwendest. Da kann nichts Richtiges rauskommen! Wenn du die Netzebenen (100), (110), (010), (-100), (-1-10), (0-10) einzeichnest, müsstest du sehen, dass die tatsächlich verschiedene Netzebenabstände haben und dass die Formel stimmt. --Sbaitz (Diskussion) 20:15, 5. Jan. 2014 (CET)

Völlig richtig. Fehlschaltung meinerseits, da ich die ganze Zeit Beugungsbilder betrachtet habe. By the way: [-2-10] taucht in der Abbildung zwei mal auf. Der eine Punkt sollte wohl [-1-20] sein oder bin ich schon wieder verwirrt? --141.20.76.96 16:18, 29. Jan. 2014 (CET)

Diesmal hast du recht, beim Punkt [-1-20] ist die Beschriftung verdreht.--Sbaitz (Diskussion) 17:42, 29. Jan. 2014 (CET)

Vielleicht nochmal zu meinem anfänglichen Denkfehler: Im Text steht zu dem Bild "... in der (h,k,0)-Ebene zum Teil mit Koordinaten [h,k,0]." Sollte man da vllt lieber "... mit Koordinaten [u,v,0]." schreiben, damit nicht nochmal jemand auf die Idee kommt den gleichen Fehler zu machen? --141.20.76.96 12:11, 30. Jan. 2014 (CET)

Stimmt, das ist mir noch gar nicht aufgefallen. (h,k,0)-Ebene ist Unsinn, (hk0) wäre die Menge aller Ebenen parallel zur c-Achse. h,k,0 wäre tatsächlich die entsprechende Ebene im reziproken Gitter, das erklärt deinen Irrtum. Gemeint ist die a1-a2-Ebene, oder (001). Oder: "[x,y,0]-Ebene mit den Koordinaten [x,y,0]". [uv0] stimmt nicht ganz, da nicht Richtungen, sondern tatsächlich Gitterpunkte gemeint sind (die [uvw] sind nach Def. teilerfremd, wie die (hkl)). Für diese xyz gibt es keine definierten Klammern (für Atomkoordinaten innerhalb der EZ, also 0<= x,y,z, < 1, waren doppelt eckige Klammern üblich, aber das trifft hier nicht zu).--Sbaitz (Diskussion) 12:44, 30. Jan. 2014 (CET)

Kuboktaeder

wo können wir bitte einen Link zu Kuboktaeder einfügen, eventuell unter "Die hexagonal dichteste Kugelpackung" oder am Ende unter "Siehe auch"? Ra-raisch (Diskussion) 14:21, 15. Mär. 2018 (CET)

Hallo Ra-raisch, warum soll denn der Kuboktaeder hier verlinkt werden? Der gehört doch zum kubischen Kristallsystem. Wenn überhaupt, dann könnte man das Antikuboktaeder hier verlinken (siehe www.chemie.de/lexikon/Dichteste_Kugelpackung.html), aber eigentlich gehören diese Lemma allgemein in die Dichteste Kugelpackung und nicht ein spezielles Kristallsystem, da es ja Kombinationen zweier Körper sind. Gruß -- Ra'ike ^Disk. _LKU ^P:MIN 17:57, 15. Mär. 2018 (CET)

@Ra'ike: Ich finde den Kuboktaeder (für die dichteste Kugelpackung) viel anschaulicher als die hier dargestellte Elementarzelle, zumal es sich um einen doch relativ bekannten Körper handelt. Im dortigen Artikel findet man auch diverse hier anwendbare geometrische Formeln. Ob Kuboktaeder oder Antikuboktaeder spielt in diesem Zusammenhang keine Rolle, es geht um die räumliche Darstellung und die Formeln. Ra-raisch (Diskussion) 22:27, 16. Mär. 2018 (CET)

Höhe Tetraeder

Ist die Höhe des Tetraeders noch gefragt?--31.150.142.40 17:14, 5. Dez. 2020 (CET)