Parallelepiped

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Ein Parallelepiped

Ein Parallelepiped ist ein geometrischer Körper, der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je 2 gegenüber liegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen. Es wird auch Spat genannt.

Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Quader, bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und Rhomboeder, bei denen alle Kanten gleich lang und 3 Innenwinkel gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Parallelepipeds mit den Kantenlängen a, b, c und den Innenwinkeln , ,
Volumen Parallelepiped-0.svg
Oberflächeninhalt
Höhen
Raumdiagonalen[1]
Flächendiagonalen
Winkel zwischen

benachbarten Flächen

Raumwinkel in den Ecken

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt.

Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen ist das Produkt der Grundfläche (Parallelogramm) und der Höhe des Parallelepipeds. Mit , wobei der Winkel zwischen und ist, und der Höhe , wobei der Winkel zwischen und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für ist das Volumen dann:

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

Dabei sind die Winkel zwischen den Kanten und die Kantenlängen.

Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren sind. Dann gilt

Im letzten Schritt wurden die Gleichungen benutzt.

Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Körpernetz eines Parallelepipeds

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:

.

Flächenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ecke, in der die Vektoren zusammentreffen, liegen die Innenwinkel . Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung

Dabei ist der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor liegen.

Daraus folgt

Die Flächenwinkel und ergeben sich entsprechend.

Raumwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[2]

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln liegt, gilt

wobei , , und ist.

Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für

Raumfüllung mit Parallelepipeden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit kongruenten Parallelepipeden ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt.

Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter. Dieses Gitter enthält parallele Ebenen. Die im Gitter benachbarten Raumwinkel und entsprechen zusammen dem Flächenwinkel . Der volle Flächenwinkel beträgt und der volle Raumwinkel beträgt . Daher gilt . Entsprechend gilt und .

In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im n-dimensionalen Raum. Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm.

Ein n-Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

Das Parallelotop ist ein konvexes Polytop mit Ecken. Für sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Stack Exchange: Formula for length of the diagonal of a parallelepiped
  2. Wolfram MathWorld: Spherical Excess