Ein Parallelepiped oder Spat (früher auch Parallelflach) ist ein geometrischer Körper, der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je 2 gegenüber liegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen.
Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.
Quader, bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und Rhomboeder, bei denen alle Kanten gleich lang und 3 Innenwinkel gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
Ein Parallelepiped wird von 3
Vektoren erzeugt.
Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren
dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen
ist das Produkt der Grundfläche
(Parallelogramm) und der Höhe
des Parallelepipeds. Mit
, wobei
der Winkel zwischen
und
ist, und der Höhe
, wobei
der Winkel zwischen
und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für
ist das Volumen dann:

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

Dabei sind
die Winkel zwischen den Kanten und
die Kantenlängen.
Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei
die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren
sind. Dann gilt

Im letzten Schritt wurden die Gleichungen
benutzt.
Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:
.
In der Ecke, in der die Vektoren
zusammentreffen, liegen die Innenwinkel
. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung

Dabei ist
der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor
liegen.
Daraus folgt

Die Flächenwinkel
und
ergeben sich entsprechend.
Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[1]
Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln
liegt, gilt

wobei
,
,
und
ist.
Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für



Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit kongruenten Parallelepipeden ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt.
Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter. Dieses Gitter enthält parallele Ebenen. Die im Gitter benachbarten Raumwinkel
und
entsprechen zusammen dem Flächenwinkel
. Der volle Flächenwinkel beträgt
und der volle Raumwinkel beträgt
. Daher gilt
. Entsprechend gilt
und
.
In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also
.
Das Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im n-dimensionalen Raum. Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm.
Ein n-Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel
ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

Das Parallelotop ist ein konvexes Polytop mit
Ecken. Für
sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.
- ↑ Wolfram MathWorld: Spherical Excess