Parallelepiped

Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO₃) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen. Stellt man diese drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt).

Volumen

Parallelepiped von 3 Vektoren erzeugt

Das Volumen $V$ ist das Produkt der Grundfläche $G$ (Parallelogramm) und der Parallelepiped-Höhe $h$. Mit $G=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$ (wobei $\gamma$ der Winkel zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist) und der Höhe $h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta |$ ($\theta$ ist der Winkel zwischen ${\vec {c}}$ und der Normalen auf der Grundfläche) ergibt sich

$V=G\cdot h=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta |=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\;|{\vec {c}}|\;|\cos \theta |$

$=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\ .$

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},{\vec {c}}=c_{1},c_{2},c_{3})^{T}$ ist das Volumen dann:

(V1) $\quad V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\;\right|$

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

(V2)$\quad V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}.$

Dabei sind $\ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})\$ und $a,b,c$ die Kantenlängen.

Der Nachweis von (V2) lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei $M$ die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ sind. Dann gilt

$V^{2}=(\det M)^{2}=\det M\det M=\det M^{T}\det M=\det(M^{T}M)$

$=\det {\begin{bmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{bmatrix}}=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).$

(Im letzten Schritt wurde $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},...,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab\cos \gamma ,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=ac\cos \beta ,\;{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=bc\cos \alpha \$ benutzt.)

Oberfläche

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

$A_{O}=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)$

$=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\$.

(Zu den Bezeichnungen: siehe vorigen Abschnitt.)

Anmerkungen

• Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
• Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
• Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt, der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)

Die Verallgemeinerung des Parallelepipeds in den n-dimensionalen Raum heißt für $n>2$ Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepipeds ist das Parallelogramm.

Definition

Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel $I^{n}$ ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

$I^{n}:=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid 0\leq x_{i}\leq 1\right\}\,.$

Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit $2^{n}$ Ecken. Für $m<n$ sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

Volumen

Eine affine Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ kann man schreiben als $f(x)=A\cdot x+t$, wobei $A$ die Abbildungsmatrix und $t$ die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops $P$ zu ermitteln, muss also untersucht werden, wie stark die affine Abbildung das Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert allein in der Abbildungsmatrix. Indem man die Determinante dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor $|\det(A)|$, um den sich das Volumen ändert. Die Striche $|\cdot |$ bezeichnen hier den Betrag. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise $|\det(A)|\cdot 1=|\det(A)|$, daher gilt

$\operatorname {vol} (P)=|\det(A)|$,

wobei $A$ die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop $P$ definiert.

In höherdimensionalen Räumen befindliche Parallelotope

Das Parallelotop kann über $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, $f(x):=Ax+t$ mit $n\leq m$ auch in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf wieder $t=0$ gesetzt werden. Die Matrix $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ ist für $n<m$ nicht mehr quadratisch, womit die Berechnung über die Determinante unmöglich erscheint. Jedoch lässt sich eine allgemeine Formel finden, welche die Formel für quadratische Matrizen als Spezialfall enthält.

Das äußere Produkt $\Lambda ^{n}\mathbb {R} ^{m}$ ist ein Vektorraum, welcher sich mit einem kanonischen Skalarprodukt ausstatten lässt, indem

$\langle {\vec {v}}_{1}\wedge \ldots \wedge {\vec {v}}_{n},{\vec {w}}_{1}\wedge \ldots \wedge {\vec {w}}_{n}\rangle :=\det(\langle {\vec {v}}_{i},{\vec {w}}_{j}\rangle )$

für Blades definiert wird. Das Skalarprodukt von Multivektoren wird über die Bilinearität auf das von Blades zurückgeführt.

Wie bei jedem Skalarprodukt ist durch

$\|X\|:={\sqrt {\langle X,X\rangle }}$

eine Norm gegeben.

Das Volumen des von den Vektoren ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$ aufgespannten Parallelotops ist gerade die Norm des Blades, d. h.

$\operatorname {vol} (P)=\|{\vec {v}}_{1}\wedge \ldots \wedge {\vec {v}}_{n}\|={\sqrt {\det(\langle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{j}\rangle )}}.$

Gilt nun ${\vec {v}}_{k}=A{\vec {e}}_{k}$, wobei $({\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n})$ die kanonische Basis ist, dann ergibt sich

$\operatorname {vol} (P)={\sqrt {\det(A^{T}A)}}.$

Man bezeichnet $\det(A^{T}A)$ als gramsche Determinante zur Matrix $A$.

Hiermit lässt sich auch eine geometrische Überlegung zur linearen Abhängigkeit von $({\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n})$ machen. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn das Parallelotop flach zusammenfällt, wenn also $\operatorname {vol} (P)=0$ gilt. Man stellt sich dazu am einfachsten zunächst den Fall $n=2$ und $m=3$ vor, bei dem ein Parallelogramm zu einer Strecke zusammenfällt.

Die lineare Abbildung $f(x)=Ax$ ist also genau dann injektiv, wenn ihre gramsche Determinante nicht verschwindet, d. h. wenn $\det(A^{T}A)\neq 0$ gilt. Nach der Äquivalenz von $X=0$ und $\|X\|=0$ ist die Abbildung auch genau dann injektiv, wenn das äußere Produkt der Spaltenvektoren von $A$ nicht verschwindet, d. h.

${\vec {v}}_{1}\wedge \ldots \wedge {\vec {v}}_{n}\neq 0.$

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

Weblinks

 Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen