Parallelepiped

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Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO3) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen. Stellt man diese drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt).

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallelepiped von 3 Vektoren erzeugt

Das Volumen ist das Produkt der Grundfläche (Parallelogramm) und der Parallelepiped-Höhe . Mit (wobei der Winkel zwischen und ist) und der Höhe ( ist der Winkel zwischen und der Normalen auf der Grundfläche) ergibt sich

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für ist das Volumen dann:

(V1)

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

(V2)

Dabei sind und die Kantenlängen.

Der Nachweis von (V2) lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren sind. Dann gilt

(Im letzten Schritt wurde benutzt.)

Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

.

(Zu den Bezeichnungen: siehe vorigen Abschnitt.)

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
  • Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
  • Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt, der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verallgemeinerung des Parallelepipeds in den n-dimensionalen Raum heißt für Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepipeds ist das Parallelogramm.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit Ecken. Für sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine affine Abbildung kann man schreiben als , wobei die Abbildungsmatrix und die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops zu ermitteln, muss also untersucht werden, wie stark die affine Abbildung das Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert allein in der Abbildungsmatrix. Indem man die Determinante dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor , um den sich das Volumen ändert. Die Striche bezeichnen hier den Betrag. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise , daher gilt

,

wobei die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop definiert.

In höherdimensionalen Räumen befindliche Parallelotope[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Parallelotop kann über , mit auch in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf wieder gesetzt werden. Die Matrix ist für nicht mehr quadratisch, womit die Berechnung über die Determinante unmöglich erscheint. Jedoch lässt sich eine allgemeine Formel finden, welche die Formel für quadratische Matrizen als Spezialfall enthält.

Das äußere Produkt ist ein Vektorraum, welcher sich mit einem kanonischen Skalarprodukt ausstatten lässt, indem

für Blades definiert wird. Das Skalarprodukt von Multivektoren wird über die Bilinearität auf das von Blades zurückgeführt.

Wie bei jedem Skalarprodukt ist durch

eine Norm gegeben.

Das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops ist gerade die Norm des Blades, d. h.

Gilt nun , wobei die kanonische Basis ist, dann ergibt sich

Man bezeichnet als gramsche Determinante zur Matrix .

Hiermit lässt sich auch eine geometrische Überlegung zur linearen Abhängigkeit von machen. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn das Parallelotop flach zusammenfällt, wenn also gilt. Man stellt sich dazu am einfachsten zunächst den Fall und vor, bei dem ein Parallelogramm zu einer Strecke zusammenfällt.

Die lineare Abbildung ist also genau dann injektiv, wenn ihre gramsche Determinante nicht verschwindet, d. h. wenn gilt. Nach der Äquivalenz von und ist die Abbildung auch genau dann injektiv, wenn das äußere Produkt der Spaltenvektoren von nicht verschwindet, d. h.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen