Diskussion:Monotone reelle Funktion/Archiv

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[[Diskussion:Monotone reelle Funktion/Archiv#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Monotone_reelle_Funktion/Archiv#Thema_1

Monoton fallend

(in Erinnerung grabend) es gibt doch auch monoton fallende Funktionen!? --Martin

Nun, fallend oder steigend macht nur bei Zahlen Sinn, man kann eine Ordnung aber auch auf ganz anderen Mengen definieren. Dann sieht man, daß fallend oder steigend nur wilkürliche Bezeichnungen sind. Man sollte das "steigend" oder "fallend" also besser ganz weglassen... oder erst später im Artikel anmerken, daß je nach Ordnungsrelation auf den Zahlen man von monoton steigend oder monoton fallend spricht... --Coma 14:16, 23. Feb 2003 (CET)

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Implizit steigend

Also, so wie ich's in Erinnerung hab, spricht man immer von monoton steigend, monton fallend und entsprechend streng monoton steigend und streng monoton fallend. Das implizite steigend ist mir nicht so geläufig... . Außerdem vielleicht ein paar Beispiele (x, x³, x⁵ sind über den ganzen Funktionsbereich monoton steigend, x², x⁴, nicht usw., die Anzahl der jemals geborenen Menschen ist monoton steigend usw.) Hubi 19:49, 31. Aug 2003 (CEST)

Man sollte schon präzise sein. Eine Funktion kann in einem Intervall sein:

• monoton steigend
• streng monoton steigend
• monoton fallend
• streng monoton fallend

Und das sollte man in jedem Fall dazuschreiben. tsor 19:56, 31. Aug 2003 (CEST)

Ja, genau. Ich hatte oben bei den Beispielen ja auch unpräzise im ganzen Funktionsbereich geschrieben. Ich hab mal im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein nachgeschaut, da steht auch nicht nur monoton, sondern immer schön mit wachsend/fallend (Bronstein spricht von monoton wachsend statt steigend). Der Artikel ist so also nicht ganz richtg. Außerdem ist Monotonie nicht nur für Funktionen, sondern auch für Folgen definiert - muß man unbedingt erwähnen. Den Artikel sollte man also korrigieren/ergänzen und insgesamt überarbeiten, da ich ihn so maximal unverständlich finde - was meint nur das Genauer ?!? Dient insgesamt nur der Abschreckung! (Dasselbe gilt meines Erachtens für den en:Monotonic Artikel im englischen Wiki, das versteht doch auch niemand, wie kann man nur was Einfaches in der Darstellung so verhunzen, nicht mal für ein Mathematikbuch für Fortgeschrittene akzeptabel, dann auch noch der Begriff obvious, oje! Naja, wir sind halt alle so doooof - bei all ihrer Kürze hat die deutsche Version auch schon Ansätze zu solchen Starallüren, aber wir können das Ruder noch rumreißen) Hubi 20:39, 31. Aug 2003 (CEST)

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Potenzmenge

Nun der Artikel ist immer noch nicht wirklich vollständig, denn was ist mit monotonen Abbildungen von der Potenzmenge in die Potenzmenge? In diesem Fall sagt die Monotonie ja etwas über die Teilmengenbeziehung aus. --80.139.200.122 22:03, 24. Nov 2005 (CET)

Steht doch in der Definition: in dem Fall lautet die Ordnungsrelation $\subseteq$ und man erhält $a\subset b\Rightarrow f(a)\subseteq f(b)$. Falls jemand ein schönes Beispiel dazu hast, kannst man es evtl. ergänzen. --NeoUrfahraner 10:21, 25. Nov 2005 (CET)

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Monotonie prüfen

Aus meiner Sicht fehlt im Artikel ein Abschnitt wie sich eine Funktion auf Monotonie prüfen lässt. Wenn ich mich richtig erinnere ging das indem man nachsehen musste ob die Ableitung der Funktion Nullstellen besitzt. Also ist die Ableitung(=Steigung) nur negativ so ist die Funktion streng monoton fallend, weist die Ableitung nur positive Zahlen auf so ist die Funktion streng monoton steigend. Es wäre schön wenn dies von jemandem mal genau nachgeschlagen und dann entsprechend ergänzt werden könnte, da ich mir im Monent hier etwas unsicher bin. TTL 23:52, 18. Feb 2006 (CET)

Nach etwas suchen bin ich auf Kurvendiskussion und http://www.schulen.rosenheim.de/finsterwaldergym/fachbereiche/mathematik/projmauler/punkt4.htm gestoßen. Demnach ist eine Funktion streng monoton steigend wenn ihre Ableitung immer Positiv ist: f'(x) > 0. (ich lag also mit meiner Vermutung richtig). Die gezeigte Beispielgrafik zeigt f(x)=x^3 und ist mit streng monoton beschriftet. f(x)=x^3 abgeleitet ist f'(x)=3x^2. Somit ist f'(0)= 0 was im Widerspruch zur Vorraussetzung steht dass f'(x) > 0 sein muss. Somit wäre f(x)=x^3 nur monoton steigend (und nicht streng monoton steigend). Also liege ich oder der Artikel falsch? TTL 00:21, 19. Feb 2006 (CET)

Du liegst falsch. Ich habe den Artikel entsprechend ergänzt. Die Bedingung, die Du nennst, ist hinreichend für strenge Monotonie, aber nicht notwendig.--Gunther 00:42, 19. Feb 2006 (CET)

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Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen

Die zweite Aussage im Abschnitt "Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen" ist m.E. unpräzise oder falsch: Aus strenger Monotonie folgt nicht, dass die Ableitung auf keinem Teilintervall konstant gleich null ist. Als Beispiel nehme ich die Funktion f(x) = x^3, deren Ableitung an der Stelle 0 den Wert 0 hat. Also ist die Ableitung auf dem (einelementigen) Teilintervall [0;0] gleich null. Dennoch ist sie streng monoton wachsend. Lamettrie 14:35, 03. Feb 2007 (CET)

In vielen Quellen werden reelle Intervalle so definiert, dass sie immer mehr als ein Element haben. Dann würde IMHO aus strenger Monotonie folgen, dass die Ableitung auf keinem Teilintervall konstant gleich null ist. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.190.81.22 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Auf Intervall wird ein Intervall mit mehr als einem Element "echtes" Intervall genannt; ich habe daher das Wort "echt" im Artikel ergänzt. --NeoUrfahraner 17:17, 23. Mai 2007 (CEST)

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Steigend/Wachsend

Um präzise zu sein, sollte man Steigend nicht für Zahlenwerte verwenden.

Eine monoton steigende Funktion stelle ich mir zumindest sehr lustig vor ;D . Der Graph steigt monoton, sobald der Funktionswert monoton wächst. Ebenso verhält es sich mit den Werten von Folgengliedern &c.

Christian

--Phoeton 15:58, 6. Jan. 2008 (CET)

PS: Wegen der Sache mit der strengen Monotonie. Strenge Monotonie ist gegeben, sobald $df/dx>0$ nach dem lokalen Ableitungssatz. Nach diesem ist die (lokale) Ableitung von $x^{3}$ auch stets größer Null.

--Phoeton 16:03, 6. Jan. 2008 (CET)

Stimmt so (meines Wissens) nicht. Quelle hab ich nicht, aber du ja auch nicht :P 87.78.3.205 12:18, 17. Feb. 2010 (CET)

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Mengentheorie und Monotone Funktion

Mir ist im Rahmen von Mathematischer Logik auch eine Monotone Funktion in einem anderen Sinne entgegengekommen:

Die Monotonie bezieht sich dort auf Mengen:

Für eine monotone Funktion muss dann gelten $f(N)\subseteq N$

sollte man das nicht hier auch berücksichtigen? (nicht signierter Beitrag von 87.189.122.220 (Diskussion | Beiträge) 23:59, 14. Jun. 2009 (CEST))

Der Fall ist ein Sepzialfall der allgemeinen Definition. Die Ordnungsrelation ist hier halt $\subseteq$. Aber es stimmt, man könnte es u.U. nochmal extra erwähnen. --Beben 23:07, 16. Dez. 2009 (CET)

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Fehler in den Beispielen

Hallo, müsste es bei dem Beispiel y=x^2 nicht so heißen: "Im Bereich von Null (einschließlich) bis plus unendlich" -> Die Steigung dort ist ja nur in einem Punkt Null. Außerdem wäre sonst auch die folgende Grafik falsch: (x>=0) Gruß, Mirko

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Umkehrfunktion

Warum sollte die Bildmenge eines Intervalls unter einer monotonen Abbildung ein Intervall sein? Beispiel: f: [0, 2] -> R mit f(x) = x für x aus [0, 1) und f(x) = x+1 für x aus [1, 2] hat als Bild f[0, 2] = [0, 1) + [2, 3]...? (nicht signierter Beitrag von 217.229.37.4 (Diskussion | Beiträge) 22:35, 29. Mär. 2010 (CEST))

Im Abschnitt Monotonie (Mathematik)#Umkehrfunktion wird außer strenger Monotonie auch Stetigkeit vorausgesetzt! Damit sollte sich der Einwand erledigt haben. --87.180.127.7 23:12, 29. Mär. 2010 (CEST)

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Nicht-numerische Monotonie

Analog zu dem mengentheoretischen Beispiel hier in der Diskussion findet sich im Artikel minimal umgebendes Rechteck eine Monotonie (Grundlage für die Suche im R-Baum), die auch nicht in das Schema "monoton steigend/monoton fallend/konstant" gepresst werden kann.

Ich fände es gut, hier den Artikel etwas zu abstrahieren. --Chire 09:22, 19. Apr. 2010 (CEST)

Hmm. Was da in minimal umgebendes Rechteck steht, bedeutet nach meinem Verständis, dass der MUR-Operator ${\mathcal {P}}\left(\mathbb {R} ^{2}\right)\to {\mathcal {P}}\left(\mathbb {R} ^{2}\right)$ für gegebene Punktmengen $A_{i}$ folgende Eigenschaft hat:

$MUR\left(\bigcup _{i}MUR\left(A_{i}\right)\right)=MUR\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)$

Das ist sicher eine wichtige Eigenschaft, aber als "Monotonie" würde ich das nicht bezeichnen. Das schaut eher nach einem speziellen Hüllenoperator aus. Wie sollte da eine passende Abstraktion aussehen? --NeoUrfahraner 10:04, 19. Apr. 2010 (CEST)

Die Formel stimmt zwar, ist aber nicht die Monotonie-Eigenschaft. Die Monotonie ist ganz banal $A_{i}\subseteq MUR(A_{i})$, womit das im Wesentlichen ein konkretes Beispiel für die oben angesprochene mengentheoretische Monotonie (nur eben steigend/fallend andersrum) ist. Daraus folgt natürlich auch $MUR(A_{i})\subseteq MUR(MUR(A_{i})\cup X)$. Verwendet wird letztlich vor allem die Negation: $a\not \in MUR(A\cup X)\Rightarrow a\not \in A$ wobei A eben recht kompliziert sein kann. Was mir an dem Artikel derzeit eben nicht gefällt, dass genau eine solche Mengen-Monotonie nicht erwähnt wird, sondern nur die "Schul-Monotonie", als ob man Monotonie nur auf Zahlen hätte. --Chire 10:50, 19. Apr. 2010 (CEST)

Die von Dir als "Monotonie" bezeichnete Eigenschaft $A\subseteq MUR(A)$ wird im Artikel Hüllenoperator als "Extensitivität" bezeichnet; die gleich darunter stehende "Monotonie bzw. Isotonie" eines Hüllenoperators $A\subseteq B\implies MUR(A)\subseteq MUR(B)$ wird im Artikel bereits abgedeckt (es wird allgemein von Ordnungsrelation gesprochen, also keineswegs auf Zahlen beschränkt). --NeoUrfahraner 11:03, 19. Apr. 2010 (CEST)

Hmm, ja, wir haben hier in der Tat beides (kein Wunder, dann MUR ist natürlich ein Hüllenoperator). Mir geht es gerade weniger darum, dass es nicht von der Definition mit abgedeckt wird (da habe ich keine Zweifel). Nur dass es mir im Artikel nicht ausreichend anschaulich erklärt wird, für nicht-Mathematiker. Ich habe mal ein entsprechendes Beispiel in den Artikel eingebaut. Wenn jemand den MBR-Artikel liest und auf Monotonie klickt, gibt das sonst nur den "Häää?" Effekt. --Chire 11:08, 19. Apr. 2010 (CEST)

Die Ergänzung hier ist OK. Die derzeitige Verwendung von "Monotonie" in minimal umgebendes Rechteck halte ich dennoch für problematisch. Ich würde da explizit die 3 Eigenschaften von Hüllenoperator erwähnen (und evtl. auf Hüllenoperator verweisen); die spezielle Gleichung oben (folgt aus den en:Kuratowski closure axioms, ist aber schwächer) zwar erwähnen, aber nicht als "Monotonie" bezeichnen. Hast Du Literatur dazu? Welche Bezeichnungen werden dort verwendet? --NeoUrfahraner 11:16, 19. Apr. 2010 (CEST)

Ja, MBR sollten wir hier putzen, das ist ja noch ein ganz neuer Artikel, der Absatz war nur so ins grobe geschrieben. Ich habe oben im Artikel gerade einen Verweis auf den Hüllenoperator-Artikel eingebaut. Magst du den Artikel anpassen in Bezug auf die Hüllenoperator-Eigenschaften? Ich fände es aber sinnvoll, die Monotonie und Extensivität explizit anzugeben. Etwas spezieller ist auch die Situation mit achsenparallelen MBRs. In diesem Fall gilt nämlich auch die angesprochene Gleichheit, d.h. $MUR(MUR(A_{i}))=MUR(\bigcup A_{i})$, was bei beliebig orientierten Rechtecken nicht mehr gelten muss. In Algorithmen ist es natürlich attraktiv das minimale umgebende Rechteck alleine Anhand bereits bekannter MURs berechnen zu können, ohne die Inhalte dieser MURs anschauen zu müssen. --Chire 11:25, 19. Apr. 2010 (CEST)

Weiter auf Diskussion:Minimal umgebendes Rechteck. --NeoUrfahraner 12:41, 19. Apr. 2010 (CEST)

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x^3

Richtig wäre: [[Bild:Ygleichxhoch3.png|frame|right|Die Funktion y=x3 ist nur monoton steigend, weil f´(x) > 0 für x <> 0 und f´(x)=0 für x=0, also f´(x)>=0 für x€R ] Bitte berichtigen Sie die Originalseite. Dort steht nähmlich folgendes: Die Funktion y=x hoch 3 ist überall streng monoton steigend. (nicht signierter Beitrag von 92.117.125.42 (Diskussion | Beiträge) 20:02, 20. Apr. 2010 (CEST))

Doch, ist streng monoton steigend. $x<y\implies x^{3}<y^{3}$. --NeoUrfahraner 21:09, 20. Apr. 2010 (CEST)

Nein, f(x)=x^3 ist NICHT STRENG monoton steigend! Eine Funktion mit Wendepunkt kann NIE STRENG monoton steigend oder fallend sein! Der Wendepunkt ist das, was eine solche Funktion zu einer monoton steigenden/fallenden Funktion macht. Ein Wendepunkt bei (0/0) ist auch ein Wendepunkt. Die Koordinaten spielen dabei doch keine Rolle!! (nicht signierter Beitrag von 84.58.96.196 (Diskussion | Beiträge) 21:12, 4. Mai 2010 (CEST))

Außerdem: von wegen x³<y³: das ist FALSCH, denn: f(0)=0!! oder anders: 0=0³ (nicht signierter Beitrag von 213.69.169.153 (Diskussion | Beiträge) 10:15, 5. Mai 2010 (CEST))

Bitte ändert das mal! (nicht signierter Beitrag von 84.56.37.234 (Diskussion 12:54, 13. Jun. 2010 (CEST))

Nein, du hast Unrecht. --A.Hellwig 20:01, 14. Jun. 2010 (CEST)

!!!! Die Funktion x^3 ist tatsächlich STRENG monoton steigend, Grund: es gilt x^3 < y^3 für x<y, es gilt auch, dass f'(x) >= 0, was also bedeutet, dass wir daraus nichts über strenge Monotonie aussagen können (Satz) die Umkehrung gilt auch nicht: ist eine Funktion streng m. steigend, dann folgt nicht, dass f'>0 (NEIN!) => per Definition zu lösen (nicht signierter Beitrag von 94.216.212.29 (Diskussion) 15:36, 26. Apr. 2012 (CEST))

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Monotonie von 1/f

Ich habe die Einfügung rückgängig gemacht, weil die Monotonie von 1/f eigentlich nichts mit Differentialrechnung zu tun hat, sondern einfach aus der Definition folgt. Die Aussage gilt genauso für nicht differenzierbare oder nicht stetige Funktionen ohne Vorzeichenwechsel. -- HilberTraum (Diskussion) 16:40, 23. Mär. 2013 (CET)

so einfach aus der definition der monotonie von f folgt die monotonie von 1/f nicht, da bei einér beliebigen funktion der vorzeichenwechsel explizit ausgeschlossen werden muss, während bei einer diffbaren, also stetigen funktion dies implizit durch den ausschluss der nullstelle geschieht (zwischenwertsatz), somit beim beweis auch keine rolle spielt.--Ym0510 (Diskussion) 16:43, 24. Mär. 2013 (CET)

Warum dann nicht f als stetig und ohne Nullstelle voraussetzen? Das ist recht allgemein und benötigt keine Differentialrechnung. Ich finde aber "kein Vorzeichenwechsel" besser, weil es noch allgemeiner ist, aber dennoch gut verständlich. -- HilberTraum (Diskussion) 18:22, 24. Mär. 2013 (CET)

...ganz einfach weil die diffbarkeit manchmal ein konfortables kriterium bei der untersuchung der monotonie darstellt. Deine aussage, die allgemeiner sein soll weil sie direkt aus der definition folgt ist im prinzip nicht viel wert, da sie eingeschrämkt (kein vorzeichenwechsel) gilt. Betrachte mal f als die identität auf der reellen achse ohne den nullpunkt. Diese funktion ist offenbar monoton steigend und mit 'meinem' satz bequem beweisbar. Da sie jedoch nicht ohne vorzeichenwechsel ist, versagt dein kriterium.:-)--Ym0510 (Diskussion) 14:09, 25. Mär. 2013 (CET)

Sicher wird man oft die Monotonie von $f$ mit Differentialrechnung zeigen, aber ich sehe nicht, in welchem Fall die komplizierte Argumentation mit $(1/f)'=-f'/f^{2}$ von Nutzen sein soll. Das Beispiel verstehe ich auch nicht: Meinst du $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,f(x)=x$ ? In diesem Fall ist doch $g:=1/f$ eben nicht monoton: z.B. g(1) > g(2), aber g(-1) < g(1). -- HilberTraum (Diskussion) 16:38, 25. Mär. 2013 (CET)

durch den ausschluss des nullpunktes aus dem defbereich habe ich die vorausstzung aufgehoben, 'meinen' satz anzuwenden. Da muss ich gestehen war ich einem irrtum aufgesessen.--Ym0510 (Diskussion) 17:41, 26. Mär. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 08:52, 8. Jun. 2015 (CEST)

Monotonie und Differenzierbarkeit

Dieser Artikel hat midnestens eine große Schwachstelle, und zwar, dass die Monotonie über die Ableitung gezeigt wird. Diese Methode bedingt aber, dass jede Funktion eine Ableitung hat, aber nicht jede Funktion hat eine Ableitung, wie bspw. folgende: f(x)= |x|, wobei x eine Element der reelen Zahlen ist. Diese Funktion hat keine Ableitung an der Stelle x=0, aber dennoch kann man eine Monotonieverhalten angeben. Vllt. sollte man den Teil richtig stellen und das Schulwissen da rausnehmen oder es zumindest als Schulwissen angeben, denn in der Mathematik wird die Monotonie einer beliebigen Funktion so nicht gezeigt. (nicht signierter Beitrag von 176.4.104.4 (Diskussion) 22:18, 23. Sep. 2013 (CEST))

Definiert wird die Monotonie richtig. Dann wird im Abschnitt "Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen" erklärt, wie bei differenzierbaren Funktionen Monotonie der Funktion mit Eigenschaften der Ableitung zusammenhängt. Dagegen ist meiner Ansicht nach nichts einzuwenden. Es wird nirgendwo der Eindruck erweckt, dass Monotonie grundsätzlich etwas mit der Ableitung zu tun habe. Das Schulwissen ist natürlich nicht nur als Schulwissen relevant, sondern auch darüber hinaus.

Übrigens kann ich auch das Monotonieverhalten der Betragsfunktion mit Hilfe der Ableitung zeigen. Für $x<0$ ist die Ableitung negativ, also ist die Funktion im Intervall $(-\infty ,0]$ streng monoton fallend. Für $x>0$ ist die Ableitung positiv, also ist die Funktion im Intervall $[0,\infty )$ streng monoton steigend. --Digamma (Diskussion) 10:32, 24. Sep. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 08:52, 8. Jun. 2015 (CEST)

Gebrauch der Wörter "aber" und "nur" in der Einleitung

Ist eine Funktion denn nicht auch dann auf einem Intervall [a,c] monoton fallend, wenn sie etwa auf [a,b] fällt und auf [b,c] konstant bleibt? Das "nur" ist verwirrend. --- In folgendem Satzteil passt das "aber" sprachlich nicht:

  [...], die nur größer (kleiner) werden, aber nirgends konstant sind.

Das ist als würde man sagen:

  Ich arbeite nur samstags, aber nie montags.

Besser wäre

1) [...], die zwar größer werden, aber nirgends konstant sind.

oder

2) [...], die nur größer werden und nirgends konstant sind.

84.114.26.36 00:29, 23. Jan. 2015 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 08:52, 8. Jun. 2015 (CEST)

Nochmal Lemma

Es ist zwar wahrscheinlich Geschmackssache, aber ich fände das Lemma Monotone reelle Funktion besser als Reelle monotone Funktion. Ersteres beschreibt eine reelle Funktion, die monoton ist, zweiteres eine monotone Funktion, die reell ist. Nachdem Schüler und Studienanfänger, an die sich der Artikel hauptsächlich richtet, mit monotonen Abbildungen noch nichts am Hut haben, ist erstere Sichtweise einfach naheliegender. Die Weiterleitung kann ja bleiben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:48, 31. Mai 2015 (CEST)

Oder man verzichtet gleich auf das „reelle“ im Lemma, wenn ohnehin nur reelle Funktionen als „monotone Funktion“ bezeichnet werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:20, 31. Mai 2015 (CEST)

Leider nein, sowohl hier als auch im Boyd: convex Opt. werden monotone Funktionen auch für abbildungen von $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ definiert, und dass auch noch in unterschiedlichster Weise. Aber gegen eine Verschiebung nach Monotone Reelle Funktion spricht meinermeinung nach nichts. --NikelsenH (Diskussion) 17:32, 31. Mai 2015 (CEST)

Ist verschoben. --NikelsenH (Diskussion) 04:12, 6. Jun. 2015 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:31, 19. Jan. 2024 (CET)

Definition

Eigentlich ist es eher unüblich $x\leq y$ zu schreiben, da für x=y sowieso f(x)=f(y) gilt. Meiner Meinung nach wäre es sinnvoller, die Definition in x<y abzuändern und in der Bemerkung zu schreiben, dass eine Definition mit $x\leq y$ gleichwertig ist. Oder gibt es einen bestimmten Grund für diese Darstellung, der mir hier entgangen ist? (nicht signierter Beitrag von 2003:E5:DBC2:1400:76EA:3AFF:FEB1:9AD4 (Diskussion) 20:42, 12. Sep. 2017 (CEST))

Vielleicht: Man benutzt nur die $\leq$-Relation. Streng monotone Funktionen sind die strukturerhaltenden Abbildungen für die <-Relation, monotone Funktionen für die $\leq$-Relation. --Digamma (Diskussion) 20:46, 12. Sep. 2017 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 18:00, 19. Jan. 2024 (CET)