Monotone Abbildung

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Eine monoton steigende reelle Funktion (rot) ist isoton und eine monoton fallende reelle Funktion (blau) ist antiton bezüglich der ≤-Ordnung auf den reellen Zahlen

Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen, bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann. Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten, spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus. Kehrt sich die Ordnung um, spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung.

Bekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind (nicht notwendigerweise streng) monotone reelle Funktionen. Die Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen, Operatoren, Zahlenfolgen, Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt.

Definition[Bearbeiten]

Sind (G, \leq) und (H, \preceq) zwei halbgeordnete Mengen, dann heißt eine Abbildung \phi: G \rightarrow H isoton, ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus, wenn für alle Elemente a,b \in G

a \leq b \Rightarrow \phi(a) \preceq \phi(b)

gilt, und antiton oder ordnungsumkehrend, wenn für alle a,b \in G

a \leq b \Rightarrow \phi(b) \preceq \phi(a)

gilt. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist. Sind die entsprechenden strikten Ordnungen  < und  \prec definiert, so heißt eine Abbildung \phi strikt isoton, wenn für alle Elemente a,b \in G

a < b \Rightarrow \phi(a) \prec \phi(b)

gilt, und strikt antiton, wenn für alle a,b \in G

a < b \Rightarrow \phi(b) \prec \phi(a)

gilt. Eine Abbildung heißt strikt monoton, wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Monotone Folgen[Bearbeiten]

  • Eine Abbildung von  ( \N, \leq ) nach  (\R, \leq) definiert durch  \psi(i)=a_i ist genau dann monoton, wenn die Folge  (a_i)_{i \in \N} eine monotone Folge ist.
  • Ist  M eine beliebige Menge und  \mathcal{P}(M) ihre Potenzmenge, so lässt sich auf der Potenzmenge eine Ordnungsrelation durch die Teilmengenbeziehung  \subset definieren. Eine Abbildung von  ( \N, \leq ) nach  (\mathcal{P}(M), \subset) definiert durch  \psi(i)=A_i ist genau dann monoton, wenn die Mengenfolge  (A_i)_{i \in \N} eine monotone Mengenfolge ist.
  • Auf einer Menge von reellwertigen Funktionen  F mit Definitionsbereich  D lässt sich eine Ordnung definieren durch
 f_1 \leq_f f_2 \iff f_1(x) \leq f_2(x) \text { für alle } x \in D .
Eine Abbildung von  ( \N, \leq ) nach  (F, \leq_f) definiert durch  \psi(i)=f_i ist genau dann monoton, wenn die Funktionenfolge  (f_i)_{i \in \N} eine monotone Funktionenfolge ist.

Monotone Funktionen[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs-Homomorphismus dar, eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, ist ein Ordnungs-Isomorphismus, eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverse ein Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Inverse \phi^{-1} einer bijektiven isotonen Abbildung \phi muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein. Sind beispielsweise G = \{ a,b,c \} mit a \leq b, a \leq c und H = \{ a,b,c \} mit a \preceq b \preceq c sowie \phi \colon G \to H die (identische) Abbildung \phi(a)=a, \phi(b)=b, \phi(c)=c, dann ist \phi zwar isoton, aber \phi^{-1} nicht, denn b \preceq c impliziert nicht b \leq c. Gleiches gilt für die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung. Daher muss hier bei Iso- und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden.

Die Hintereinanderausführung \psi \circ \phi zweier isotoner Abbildungen \phi \colon F \to G und \psi \colon G \to H ist wieder isoton. Nachdem auch die identische Abbildung \operatorname{id} \colon G \to G isoton ist, stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen \phi \colon G \to G mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ein Monoid (das Endomorphismenmonoid) dar. Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine (kartesisch abgeschlossene) Kategorie. Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotoner Inversen bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung entsprechend eine Gruppe (die Automorphismengruppe). Die Hintereinanderausführung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton, sondern isoton. Die Hintereinanderausführung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhängig von der Reihenfolge stets antiton.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Eine Abbildung \phi: G \rightarrow H zwischen zwei halbgeordneten Mengen (G, \leq) und (H, \preceq), für die die Umkehrung

a \leq b \Leftarrow \phi(a) \preceq \phi(b)

für alle a,b \in G gilt, heißt ordnungsreflektierend. Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv. Eine sowohl ordnungserhaltende, als auch ordnungsreflektierende Abbildung, für die also

a \leq b \Leftrightarrow \phi(a) \preceq \phi(b)

für alle a,b \in G gilt, wird Ordnungseinbettung genannt. Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann (G, \leq) \cong (H, \preceq). Für eine Ordnungseinbettung gilt lediglich (G, \leq) \cong (\phi(G), \preceq).

Literatur[Bearbeiten]