Durchschnittliche Größenordnung

In der Zahlentheorie bezeichnet die durchschnittliche Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere Funktion, die „im Mittel“ dieselben Werte annimmt.

Definition

Es sei $f$ eine zahlentheoretische Funktion. Man sagt, die durchschnittliche Größenordnung von $f$ ist $g$, wenn für $n\to \infty$ die asymptotische Gleichheit

$\sum _{x\leq n}f(x)\sim \sum _{x\leq n}g(x)$

gilt. Es ist üblich, eine Näherungsfunktion zu wählen, die stetig und monoton ist. Aber auch damit ist sie keineswegs eindeutig bestimmt.

Beispiele

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₁

Werte und durchschnittliche Größenordnung von ω und Ω

Die durchschnittliche Größenordnung der Quadratsummen-Funktion $r_{k}(n)$ bestimmt man aus der Summe

$R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer $k$-dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\sqrt {x}}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich (mit der Landau’schen O-Notation) rekursiv ableiten

$R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})$,

wobei die Konstanten $V_{k}$ die Volumina der $k$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

$V_{1}=2,\;V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dotsc$

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_{k}$ ist damit $r_{k}(n)\sim {\tfrac {k}{2}}V_{k}n^{{\tfrac {k}{2}}-1}$, also z. B. $r_{2}(n)\sim \pi$.

Weitere Beispiele

• Die durchschnittliche Größenordnung der Eulerschen Phi-Funktion $\varphi (n)$ ist ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}n$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion $d(n):=\sigma _{0}(n)$ ist $\ln n$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten $\gamma$

$\sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}})$.

• Die durchschnittliche Größenordnung der Teilerfunktion $\sigma _{k}(n)$ für $k>0$ ist $\zeta (k+1)\ n^{k}$ mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta (s)$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Ordnung $\Omega (n)$, also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von $n$ wie auch von $\omega (n)$ als Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ist $\ln \ln n$. Genauer gilt (Satz von Hardy und Ramanujan)

$\sum _{x\leq n}\omega (x)=n\ln \ln n+B_{1}n+o(n)$

$\sum _{x\leq n}\Omega (x)=n\ln \ln n+B_{2}n+o(n)$

mit den Konstanten $B_{1}=0{,}26149\dots$ (Mertens-Konstante) und $B_{2}=1{,}03465\dots$

Für beide Funktionen sind außerdem durchschnittliche und normale Größenordnung gleich.

• Der Primzahlsatz ist äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Mangoldtfunktion $\Lambda (n)$ gleich $1$ ist.
• Der Primzahlsatz ist auch äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Möbiusfunktion $\mu (n)$ gleich $0$ ist.

Siehe auch

• Spezielle zahlentheoretische Funktionen
• Normale Größenordnung

Weblinks

Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld (englisch).