Evolute

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Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen.

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

Oder auch:

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Evolute einer parametrisierten Kurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beschreibt eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind der Krümmungskreisradius und die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist und so ist

  • und
.

Eigenschaften der Evolute[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) und . Hieraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute :

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

  • Die Evolute ist in Punkten mit nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
  • Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
  • In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen bzw. gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

wobei eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit und ergibt sich

D. h., für die Fadenverlängerung erhält man die gegebene Kurve wieder.

  • Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegeben Kurve im Abstand parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) . Die Evolute der Parallelkurve ist also

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Evolute der Normalparabel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Evolute (rot) einer Ellipse
Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot).

Evolute einer Ellipse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung ergibt sich:[1]

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von liefert die implizite Darstellung

Evoluten bekannter Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468, S. 30.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3 87144 323 9, S. 475.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Evolute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien