Nephroide

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Construction mécanique de la néphroïde

Eine Nephroide (aus altgriechisch ὁ νεφρός ho nephros "die Niere", nach ihrer Gestalt) ist eine algebraische Kurve 6. Grades. Die Nephroide entsteht durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius . Damit gehört die Nephroide in die Klasse der Epizykloiden.

Gleichungen einer Nephroide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nephroide: Definition

Ist der Radius des kleinen (rollenden) Kreises und der Mittelpunkt und Radius des großen (festen) Kreises, der Rollwinkel (des kleinen Kreises) und der Punkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die

  • Parameterdarstellung:
.

Einsetzen der Parameterdarstellung in die Gleichung

beweist, dass sie die zugehörige implizite Darstellung ist.

Beweis der Parameterdarstellung

Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihre Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes (komplexe Zahl) um den Nullpunkt mit dem Winkel wird durch die Multiplikation mit bewirkt.

Die Drehung um den Punkt um den Winkel ist .
Die Drehung um den Punkt um den Winkel ist .

Ein Nephroidenpunkt entsteht durch Drehung des Punktes mit und anschließende Drehung mit :

.

Hieraus ergibt sich

(Es wurden die Formeln benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.)

Beweis der impliziten Darstellung

Mit ergibt sich

andere Orientierung

Falls die Spitzen auf der y-Achse liegen:
Parameterdarstellung:

Gleichung:

Flächeninhalt und Kurvenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die obige Nephroide ist

Die Beweise verwenden die Parameterdarstellung

der obigen Nephroide und ihre Ableitungen

Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z.B. hier [1].

Beweis für die Kurvenlänge

Mit der Formel für die Länge einer parametrisierten Kurve ergibt sich

.
Beweis für den Flächeninhalt (mit der Leibniz-Sektorformel)
.

Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar

Es gilt:

  • Ist ein Kreis und Punkte eines Durchmessers , so ist die Einhüllende der Schar von Kreisen, deren Mittelpunkte auf liegen und den Durchmesser berühren, eine Nephroide mit den Spitzen .
Beweis

Es sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Der nötige Durchmesser liege auf der x-Achse (s. Bild). Die Kreisschar ist:

Die Einhüllendenbedingung ist

Man rechnet nach, dass der Nephroidenpunkt die beiden Gleichungen erfüllt und damit ein Punkt der Einhüllenden der Kreisschar ist.

Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nephroide: Tangenten als Sehnen eines Kreises, Prinzip
Nephroide: Tangenten als Sehnen eines Kreises

Ähnlich der Erzeugung einer Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar gilt hier:

  1. Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
  2. Zeichne die Sehnen: . (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit dreifacher Geschwindigkeit.)
  3. Die Einhüllende dieser Strecken ist eine Nephroide.
Beweis

Im Folgenden werden die trigonometrischen Formeln für verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Nephroide mit den Spitzen auf der y-Achse geführt.

Gleichung der Tangente
an die Nephroide mit der Parameterdarstellung
:

Aus der Parameterdarstellung berechnet man zunächst den Normalenvektoren .
Die Gleichung der Tangente ist dann:

Für hat die Nephroide ihre Spitzen, wo sie keine Tangente besitzt. Für kann man durch dividieren und erhält schließlich

Gleichung der Sekante
an den Kreis mit Mittelpunkt und Radius : Für die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte ergibt sich:

Für artet die Sekante zu einem Punkt aus. Für kann man durch dividieren und es ergibt sich die Gleichung der Sekante:

Die beiden Winkel haben zwar verschiedene Bedeutungen ( ist der halbe Rollwinkel, ist der Parameter des Kreises, dessen Sekanten berechnet werden), für ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Nephroide und

  • die Nephroide ist die Einhüllende der Kreissehnen.
Nephroide als Kaustik eines Kreises: Prinzip
Nephroide als Kaustik eines Halbkreises

Nephroide als Kaustik eines Halbkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als Kaustik eines Halbkreises eine Nephroide auftritt:

  • Fallen in der Ebene parallele Lichtstrahlen in einen spiegelnden Halbkreis gemäß der Abbildung, so sind die reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Nephroide. (s. Abschnitt: Nephroide im täglichen Leben)
Beweis

Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Nullpunkt als Mittelpunkt und sein Radius sei . Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung

Die Tangente im Kreispunkt hat den Normalenvektor . Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor haben und durch den Kreispunkt gehen. Der reflektierte Strahl liegt also auf der Gerade mit der Gleichung

die wiederum die Tangente an die Nephroide des vorigen Abschnitts im Punkt

ist (s. oben).

Inversion (grün) einer Nephroide (rot) am blauen Kreis

Inversion (Kreisspiegelung) einer Nephroide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Spiegelung

am Kreis mit Mittelpunkt und Radius bildet die Nephroide mit der Gleichung

auf die Kurve 6. Grades mit der Gleichung

ab (siehe Bild).

Nephroide im täglichen Leben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brennlinie.GIF

Fällt Licht einer unendlich weit entfernten Lichtquelle seitlich auf eine konkave, kreisförmige reflektierende Oberfläche, so bildet die Einhüllende der Lichtstrahlen einen Teil einer Nephroide. Manchmal wird sie daher auch „Kaffeetassenkaustik“ (Kaustik = Brennlinie) genannt. Man kann sie auch auf der Straße beobachten, wenn die blanken Felgen eines Fahrrades das Licht auf den Boden reflektieren: Da das Sonnenlicht den Zylindermantel der Fahrradfelge parallel trifft, bildet sich eine Brennfläche, deren Profil die Form einer halben Nephroide hat und die, wenn man sich leicht in die Kurve legt, mit dem ebenen Untergrund einen Teil einer Nephroide als Schnittfigur bildet.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3 540 59188 5, S. 194,200

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Nephroid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien