Fahnenmannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist eine Fahnenmannigfaltigkeit der Raum der vollständigen Fahnen in einem Vektorraum oder allgemeiner der Quotient einer halbeinfachen algebraischen Gruppe nach einer borelschen Untergruppe. Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten.

Fahnenmannigfaltigkeit eines Vektorraums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine vollständige Fahne in einem endlichdimensionalen (reellen oder komplexen) Vektorraum ist eine Folge

von Untervektorräumen von mit und , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

und so dass

für gilt, insbesondere also .

Die allgemeine lineare Gruppe wirkt transitiv auf der Menge aller vollständigen Fahnen, die Stabilisatoren einer Fahne sind konjugiert zur Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. Es gibt also eine Bijektion zwischen und der Menge aller vollständigen Fahnen. Deshalb wird

als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet.

Die kanonische Einbettung in das Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten

macht die Fahnenmannigfaltigkeit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und (vermittels der Plücker-Einbettung der Graßmann-Mannigfaltigkeiten) zu einer projektiven Varietät.

Verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine halbeinfache Liegruppe und eine Borel-Gruppe, d.h. eine minimale parabolische Untergruppe von . Dann heißt der homogene Raum verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeit. Falls eine algebraische Gruppe ist, ist eine projektive Varietät.

Die obigen Beispiele der Fahnenmannigfaltigkeiten eines Vektorraums erhält man für oder und die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Charles Ehresmann: Sur la topologie de certains espaces homogènes. Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 396–443.
  • Shiing-Shen Chern: On the characteristic classes of complex sphere bundles and algebraic varieties. Amer. J. Math. 75, (1953). 565–597.
  • Armand Borel: Cohomologie des espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1, Exp. No. 45, 371–378, Soc. Math. France, Paris, 1995.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]