Fastring

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Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fastring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition und Multiplikation für die gilt:

  1. ist eine Gruppe.[1]
  2. ist eine Halbgruppe.
  3. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gültig: für alle

wird hingegen ein Linksfastring genannt, wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes

      3.′   das linksseitige Distributivgesetz gültig ist: für alle

Erfüllt ein Fastring beide Distributivgesetze, so heißt er distributiver Fastring, ist also Rechts- und Linksfastring.

Man nennt einen Fastring , bei dem die additive Gruppe kommutativ ist, abelsch. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen als kommutativ. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.

Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen für alle geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im Folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.

Definiert man auf einem Fastring eine zweistellige Verknüpfung Subtraktion gemäß

für alle

so gilt auch für diese wegen

das rechtsseitige Distributivgesetz: für alle

Analog gilt für einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion.

Nullelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Fastring besitzt gemäß der Definition ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition, d. h.

für alle

Dieses heißt das Nullelement oder kurz die Null des Rechts- bzw. Linksfastringes. Es ist bei einem (Rechts-)Fastring bezüglich der Multiplikation linksabsorbierend:

für alle

und bei einem Linksfastring rechtsabsorbierend, jedoch ist die Null im Allgemeinen nicht beidseitig absorbierend.

Einselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat ein Fastring auch ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation,

für alle

so nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Fastringes.

Fastkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Fastkörper

Bildet außerdem eine Gruppe, dann heißt der Fastring Fastkörper. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann abelsch ist.

Halbfastring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Fastring lässt sich noch zu einem Halbfastring verallgemeinern, in dem in der Definition des Fastringes an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:

      1.′    ist eine Halbgruppe.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa eine Gruppe und bezeichne die Menge aller Funktionen , dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf durch
für alle
Außerdem bildet mittels der Komposition ein Monoid, so dass dann ein Fastring mit Eins ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:
für alle
  • Ist eine Gruppe und eine Untergruppe der Automorphismengruppe von , die scharf-transitiv auf operiert, d.h. für zwei Elemente

gibt es genau ein mit , dann kann man wie folgt eine Operation auf definieren: Man wählt ein festes Element . Sind , so gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Man definiert dann , ferner setzt man für alle . Dann ist ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu ist. Das rechtsseitige Distributivitätsgesetz ist wegen für alle erfüllt. Ist , so enthält die Automorphismengruppe von eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf . So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Fastring hat einen 0-symmetrischen Teil und einen konstanten Teil so dass gilt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. muss nicht kommutativ sein!

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977. ISBN 0-7204-0566-1
  • Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.