Ganzes Element

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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring und eine -Algebra. Dann heißt ein Element ganz über , wenn es ein normiertes Polynom gibt, so dass gilt.

Die Menge der über ganzen Elemente von der ganze Abschluss von in .

Falls der ganze Abschluss von in mit übereinstimmt, heißt ganz abgeschlossen in . Stimmt der ganze Abschluss von in jedoch mit überein, ist also jedes Element von ganz über , so heißt ganz über .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine Ringerweiterung, dann ist insbesondere eine -Algebra. Ist ganz über , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
  • Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
  • Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper wird als der Ganzheitsring von bezeichnet.
  • Ist und , so ist der ganze Abschluss von in gegeben als

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Ringerweiterung, . Dann sind äquivalent:[1]

  • ist ganz über ,
  • ist als -Modul endlich erzeugt,
  • es gibt einen Teilring , sodass und als -Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der ganze Abschluss von in ist eine -Unteralgebra von .
  • Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung , dass genau dann ganz über ist, wenn ganz über und ganz über ist.[2]
  • Sei eine Ringerweiterung, der ganze Abschluss von in und eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch der ganze Abschluss von in , wobei mit die Lokalisierung nach der Menge bezeichnet.[4]
  • Sei eine ganze Ringerweiterung und nullteilerfrei. Dann ist genau dann ein Körper, wenn ein Körper ist.[5]
  • Ist eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in und darunterliegenden Primidealketten in . Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
  • Falls ein Unterring des Körpers ist, dann ist der ganze Abschluss von in der Durchschnitt aller Bewertungsringe von die enthalten.[6]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
  2. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
  3. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
  4. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
  5. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
  6. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.