Ganzes Element

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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

Definition[Bearbeiten]

Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element b\in B ganz über A, wenn es ein normiertes Polynom

p=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots+c_1X+c_0\in A[X]

gibt, so dass

p(b) = b^n + c_{n-1}b^{n-1} + \ldots + c_1b + c_0 = 0

gilt.

B heißt ganz über A, wenn jedes Element von B ganz über A ist. Ist insbesondere A\subseteq B, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.

Für eine beliebige A-Algebra B heißt die Menge der über A ganzen Elemente von B der ganze Abschluss von A in B.

Ganzer Abschluss[Bearbeiten]

Der ganze Abschluss eines kommutativen Ringes R \subset S ist die Menge der Elemente von S die ganz über R sind. Falls R=S, dann sagt man R ist ganz abgeschlossen. Ganze Abschlüsse verhalten sich einfach bezüglich verschiedener Konstruktionen. Z. B. ist für eine Teilmenge A \subset B, die abgeschlossen bezüglich der Multiplikation ist, die Lokalisierung S^{-1}A der ganze Abschluss von S^{-1}A in S^{-1}B. Falls A ein Unterring des Körpers K ist, dann ist der ganze Abschluss von A in K der Durchschnitt aller Bewertungsringe von K die A enthalten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der ganze Abschluss von A in B ist eine A-Unteralgebra von B.
  • Sei A\subseteq B eine ganze Ringerweiterung und B nullteilerfrei. Dann ist A genau dann ein Körper, wenn B ein Körper ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist A=\mathbb Z und B=\mathbb Q\big(\sqrt5\big), so ist der ganze Abschluss von A in B gleich
\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].