Gleichdick

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Gleichdick (Reuleaux-Dreieck) als Bohrer

Ein Gleichdick ist eine Kurve konstanter Breite, deren geschlossene Linie in jeder Lage innerhalb eines geeigneten Quadrates stets alle vier Seiten berührt.

Oder ausführlicher formuliert: Die Breite einer Kurve ist definiert als der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden, die die Kurve auf gegenüberliegenden Seiten berühren. Diese Geraden nennt man Stützgeraden. Kurven konstanter Breite sind diejenigen Kurven, bei denen sich für den Abstand dieser Geraden immer derselbe Wert ergibt, unabhängig davon, an welcher Stelle der Figur die Geraden angreifen.

Das einfachste nicht triviale aller Gleichdicke ist das Reuleaux-Dreieck. Es ist auch das Gleichdick mit der kleinsten Fläche, wohingegen der Kreis jenes mit der größten ist, dazwischen gibt es unendlich viele andere. Man kann also Material sparen: Ein Kreis mit gleichem Durchmesser hat eine größere Fläche, eine zylindrische Walze mehr Volumen.

Bekannte Beispiele eines Gleichdicks sind die britischen 20- und 50-Pence-Münzen ab 1982 bzw. 1969 Ausgabedatum (bis laufend). Ihre siebeneckige Form mit gebogenen Seiten führt dazu, dass im Vergleich zum Kreis mit gleichem Durchmesser Material gespart wird, der Durchmesser (bis auf den Fehler durch die Eckenabrundung) zwischen parallelen Backen oder einem Münzeinwurfschlitz in jeder beliebigen Richtung der Münzebene bestimmt werden kann. Beim abrollenden Drehen zwischen den Fingern einer Hand können die Ecken ertastet werden. Beim ausreichend schnellen Rollen der Münzen können diese von einer harten Bahn etwas abheben oder springen.

Nach dem Satz von Barbier gilt für den Umfang eines jeden Gleichdicks der Breite b:

D.h. auch der Umfang von Gleichdick und Kreis gleichen Durchmessers ist der gleiche.

Ein Gleichdick muss aber nicht aus Kreisbögen gestaltet werden oder irgendwie symmetrisch sein. Es gibt eine unbegrenzte Anzahl von Gleichdicken. Ihnen gemeinsam ist die konvexe Form.

Ein Bohrer mit dem Querschnitt eines Reuleaux-Dreiecks kann zum Bohren von „eckigen“ Löchern genutzt werden. Erfunden hat diesen Bohrer, der beinahe viereckige Löcher erzeugt, der britische Ingenieur Harry James Watt 1914 (US-Patent 1241175 und folgende).

Die dreidimensionale Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reuleaux triangle Animation.gif

Ein räumliches Gleichdick ist ein konvexer Körper konstanter Breite: ein Körper ohne Einbuchtungen, der in jeder Lage innerhalb eines geeigneten Würfels stets alle sechs Seitenflächen berührt: In welcher Orientierung ein solcher Körper auch zwischen zwei parallele Platten eingespannt wird, immer sind die beiden Platten exakt gleich weit voneinander entfernt.

Ein einfaches nichttriviales räumliches Gleichdick ist der Rotationskörper, der durch Drehung eines Reuleaux-Dreiecks um eine seiner Symmetrieachsen entsteht. Aber auch alle anderen um eine Symmetrieachse rotierten Reuleaux-Polygone sind Körper konstanter Breite. Damit gibt es unendlich viele verschiedene räumliche Gleichdicke derselben konstanten Breite.

Entgegen der intuitiven Annahme, das Reuleaux-Tetraeder sei ebenfalls von konstanter Breite, handelt es sich bei diesem Körper um kein Gleichdick. Jedoch lassen sich auf dessen Grundlage räumliche Gleichdicke konstruieren, die keine Rotationskörper sind, die beiden Meißner-Körper.

Auftreten von Gleichdicken in der Produktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade beim (Umfangs-)Walzen von zylindrischen oder zylinderähnlichen Formen wie Schrauben oder Steckkontakten ist es durch Toleranzen eher die Regel als die Ausnahme, dass statt Zylindern Gleichdicke entstehen. Durch Messen zwischen zwei parallelen Flächen ist auf Grund der obigen Definition kein Unterschied festzustellen. Allerdings kommt es zu Problemen, wenn Formschluss oder Dichten benötigt wird.

Erkannt werden kann ein Reuleaux-Dreieck nicht mit einem Meßschiebers oder einer maulförmigen Lehre, deren parallele Backen jeweils den nur an 2 Punkten gemessenen Durchmesser bestimmen. Wird jedoch ein Messinstrument mit 3 etwa in Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordneten Fühlstellen an ein Reuleaux-Dreieck herangeführt, sind je nach Verdrehlage dieses Gleichdicks unterschiedliche Maße detektierbar. Realisiert werden können solche Messvorrichtungen mit einem Messschieber, dessen einem Backen ein M-förmiges Passstück (mit 120°-V- oder Rechteck-Nut) oder zwei Kreisscheiben in konstantem, geeignetem Abstand zueinander in Messrichtung aufgelegt wird.

Bohrer, die wegen großer Länge leichter ausweichen und nur zwei kurze Schneiden haben neigen dazu statt eines Kreises ruckweise ein Reuleaux-Dreieck herauszubohren. Solche Bohrer mit drei Schneidkanten tendieren dazu ein abgerundetes Viereck auszubohren (Siehe Bild ganz oben). Usw. Vorbohren mit etwa dem Viertel bis Drittel des End-Durchmesser hilft den folgenden Bohrer zentrisch zu führen. Ab einer gewissen Eindringtiefe eine Spiralbohrers führen die auf einem Zylinder liegenden Flächen hinter den spiraligen Schneiden.

Schrauben, die in Blech oder Kunststoff selbstsichernde Eigenschaft gegen Verdrehen haben sollen werden mitunter mit längs dem Umfang an 3 Stellen leicht buckelig hervortretenden Gewindeschneiden hergestellt, wofür die Kontur eines Reuleaux-Dreieck gut geeignet ist. Typisch ist, dass diese Buckel als Dreifachhelix innen am umschriebenen Zylinder anliegen. Die Luft dieser oft selbstrillenden Schrauben gegenüber dem gebildeten zylindrischen Gewinde bietet Raum zur Aufnahme von Spänen. Insbesondere Kunststoff wird durch Aufweitung an den 3 Dreieckspunkten günstig federnd verspannt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]