Reuleaux-Dreieck

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Das Reuleaux-Dreieck ist das nach dem Kreis einfachste Beispiel eines Gleichdicks („Kurve konstanter Breite“). Der Abstand jedes Punktes einer Seite vom gegenüberliegenden Eckpunkt ist konstant. Die „konstante Breite“ bleibt beim Drehen um den Flächenmittelpunkt erhalten: Der Endpunkt der Seite wird jetzt Gegenpunkt einer anderen Seite (derjenigen, die vom vorherigen Gegenpunkt begrenzt wird). Das Reuleaux-Dreieck ist nach Franz Reuleaux, einem deutschen Ingenieur des 19. Jahrhunderts, benannt, der Pionierarbeit auf dem Gebiet der Getriebelehre leistete.

Ein Reuleaux-Dreieck

Um ein Reuleaux-Dreieck zu konstruieren, fängt man mit einem gleichseitigen Dreieck an. Um jeden Eckpunkt wird ein Kreis gezeichnet, der durch die beiden jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte geht. Der Durchschnitt (d.i. die gemeinschaftliche Fläche) der drei Kreise bildet das Reuleaux-Dreieck.

Dem Blaschke-Lebesgue-Theorem nach hat das Reuleaux-Dreieck die kleinste Fläche aller Gleichdicke.

Das Reuleaux-Dreieck kann verallgemeinert werden zu regelmäßigen Polygonen mit 2n + 1 Seiten. Siehe Bogenvieleck.

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Reuleaux-Dreiecks R, bei dem das zur Konstruktion benötigte, gleichseitige Dreieck ABC die Seitenlänge r besitzt, benötigt man zunächst den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks, den man so berechnet:

.


Außer dem Dreieck ABC besteht ein Reulaux-Dreieck aus drei gleichen Kreissegmenten, die den Öffnungswinkel

besitzen (entsprechend einem Sechstel Vollkreis, also 60°).
Somit ist der Flächeninhalt eines Kreissegments As

.


Der Flächeninhalt des Reuleaux-Dreiecks ist folglich:

.

Umfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist r die Seitenlänge des zugrundeliegenden Dreiecks ABC (gleichbedeutend mit der Breite), berechnet sich der Umfang des Reuleaux-Dreiecks zu

Dreidimensionale Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Reuleaux-Tetraeder

Die Schnittmenge von Kugeln mit Radius s, deren Mittelpunkte auf den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge s liegen, wird Reuleaux-Tetraeder genannt.

Im Gegensatz zum Reuleaux-Dreieck haben die Durchmesser des Reuleaux-Tetraeders nicht alle die gleiche Länge. So ist der Durchmesser, der durch die beiden Punkte führt, die sich kantenmittig auf zwei einander gegenüber liegenden Kanten des Körpers befinden, größer als s: Ihr Abstand beträgt

.


Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Reuleaux-Dreiecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien