Gröbere und feinere Topologien

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Gröbere und feinere Topologien sind in dem mathematischen Teilgebiet der Topologie spezielle Mengensysteme, die in einer gewissen Beziehung zueinander stehen. Dabei heißt eine Topologie eine gröbere Topologie als eine andere Topologie, wenn sie in dieser enthalten ist, und eine feinere Topologie, wenn sie diese enthält.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Menge , versehen mit zwei Topologien und . Ist

,

so heißt die Topologie stärker oder feiner als . Umgekehrt wird dann schwächer oder gröber als genannt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein gegebenes ist die triviale Topologie

die gröbste mögliche Topologie und somit in jeder weiteren Topologie enthalten. Dies gilt bereits aufgrund der Definition einer Topologie, die immer die Grundmenge und die leere Menge enthalten muss.

Umgekehrt ist die diskrete Topologie

die feinste Topologie, da sie per Definition der Potenzmenge alle Teilmengen der Grundmenge enthält. Es kann somit keine Topologie geben, die echt mehr Mengen als enthält.

Ein nichttriviales Beispiel von gröberen und feineren Topologien sind die schwache Topologie und die Normtopologie auf normierten Räumen. Dabei ist die schwache Topologie als Initialtopologie definiert: Sie ist die gröbste Topologie auf dem Grundraum , so dass alle linearen normstetigen Funktionale auf stetig sind. Die Normtopologie wird hingegen von den Norm-Kugeln

erzeugt. Die schwache Topologie ist dann, wie der Name schon sagt, schwächer (bzw. gröber) als die Normtopologie.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei Topologien und auf einer Menge gilt: Es ist genau dann, wenn die identische Abbildung stetig ist.

In metrischen Räumen und normierten Räumen vererben sich viele Eigenschaften von den Metriken bzw. den Normen auf die entsprechenden Topologien. Ist beispielsweise die Norm auf eine stärkere Norm als , so ist die von induzierte Normtopologie feiner als die von induzierte Normtopologie. Die analoge Aussage gilt auch für die von Metriken erzeugten Topologien.

Allgemein gilt: feinere Topologien haben

Verband der Topologien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Menge, so lässt sich auf natürliche Weise durch Inklusion eine Halbordnung auf definieren. Diese Halbordnungsstruktur vererbt sich auf die Menge

.

Es gilt sogar noch mehr: wird bezüglich der durch die Inklusion induzierten Halbordnung zu einem vollständigen Verband:[1]

Man definiert dazu für zwei Topologien

als den Schnitt sowie
als die von erzeugte Topologie,

da die Vereinigung von Topologien im Allgemeinen nur die Subbasis einen Topologie liefert. Weiter definiert man für beliebige und damit insbesondere unendliche Familien

als den Schnitt sowie
als die von der Subbasis erzeugte Topologie.

Als vollständiger Verband ist auch beschränkt, in diesem Falle durch die diskrete Topologie einerseits und die indiskrete Topologie andererseits. Der Verband ist jedoch nicht distributiv. [2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. René Bartsch: Allgemeine Topologie. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 79 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. H.J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-034-86906-5, S. 59 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).