Hölder-Mittel

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In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt wird auch , oder geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine reelle Zahl wird das Hölder-Mittel der Zahlen zur Stufe definiert als

,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für ist

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich , das heißt
  • Außerdem gilt
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
  • Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten um Null recht einfach in Beziehung:

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grafische Darstellung verschiedener Mittelwerte zweier Werte a, b

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

Minimum
Harmonisches Mittel
Geometrisches Mittel
Arithmetisches Mittel
Quadratisches Mittel
Kubisches Mittel
Maximum

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gewichtetes Hölder-Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten mit definieren als

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel verwendet wird.

f-Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

bzw. gewichtet zu

Dabei ist eine Funktion von ; das Hölder-Mittel verwendet .

Weitere Beispiele:

  • Sind die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren bis , so erhält man die mittlere Rendite als -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion .
  • Sind die Alter von Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion ; dabei bedeutet die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ersetzt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
  • P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]