Hölder-Mittel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt wird auch , oder geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine reelle Zahl wird das Hölder-Mittel der Zahlen zur Stufe definiert als

,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für ist

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich , das heißt
  • Außerdem gilt
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
  • Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten um Null recht einfach in Beziehung:

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grafische Darstellung verschiedener Mittelwerte zweier Werte a, b

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

Minimum
Harmonisches Mittel
Geometrisches Mittel
Arithmetisches Mittel
Quadratisches Mittel
Kubisches Mittel
Maximum

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gewichtetes Hölder-Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein Gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten mit definieren als

wobei für das "normale" Hölder-Mittel verwendet wird.

f-Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

Dabei ist eine Funktion von ; das Hölder-Mittel verwendet .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]