Hamiltonsche Gruppe

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In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe Dedekindsche Gruppe (nach R. Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine Dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden Hamiltonsche Gruppen genannt (nach W. R. Hamilton).

Die Hamiltonschen Gruppen können nach einem auf R. Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:[1]

  • Jede endliche Hamiltonsche Gruppe ist von der Form , wobei
    • die Quaternionengruppe ist,
    • eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
    • und ist.

Ist , so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste Hamiltonsche Gruppe und jede Hamiltonsche Gruppe enthält eine zur Quaternionengruppe isomorphe Untergruppe.

Demnach sind und keine Hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind bzw. nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich und sei.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 134). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, Satz III,7.12.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]