Gruppenisomorphismus

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Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus heißt Gruppenisomorphismus, falls eine inverse Abbildung besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus mit und gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „/mathoid/local/v1/“:): f bijektiv ist.[1]

Bildet der Gruppenisomorphismus von nach ab, sind also Definitionsbereich und Bildmenge gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus.[2]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sein Bild ist die ganze Gruppe, d.h.:
  • Zu jedem Gruppenisomorphismus existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion .

Isomorphie von Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für jede Gruppe G ist die identische Abbildung , ein Gruppenautomorphismus.
  • Die Exponentialfunktion , ist ein Gruppenisomorphismus.
  • Die Konjugation beschreibt einen Gruppenautomorphismus.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 14.