Jellico war das älteste von zehn Kindern einer irischen Familie, die ursprünglich als Kornhändler und Müller tätig war. Das sein Vater allerdings Makler für die Limerick Steamship Company wurde, zog die Familie nach Limerick, wo Jellico zur Welt kam. Auch er selbst wurde Schiffsmakler. Während des Ersten Weltkriegs diente er als Lieutenant in der Royal Navy Volunteer Reserve.