Klassifizierender Raum von SO(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSO} (n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist der Basisraum des universellen $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündels $\operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$. Das bedeutet, dass $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in $\operatorname {BSO} (n)$ stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:

$\operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))$

überträgt sich die $\operatorname {SO} (n+k)$-Wirkung auf $\operatorname {BSO} (n)$.

Kleinster klassifizierender Raum

• Es ist $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe und daher $\operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}$ der triviale topologische Raum.

• Es ist $\operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)$ und daher $\operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ der unendliche komplexe projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Für einen topologischen Raum $X$ sei $\operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)$ die Menge der $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist $X$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

$[X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)$

bijektiv.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSO} (n)$ mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].$

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\operatorname {char} =2$.

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSO} (n)$ mit Koeffizienten im Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),$

$H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\operatorname {char} \neq 2$.

Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

$\operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n)$

$\operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n)$

bezeichnet. $\operatorname {BSO}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\operatorname {SO}$.

Siehe auch

• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

Literatur

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Hrsg.: Princeton University Press. 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Hrsg.: Cambridge University Press, Cambridge. 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]). 

Weblinks

• classifying space auf nLab (englisch)
• BSO(n) auf nLab (englisch)