Kronecker-Symbol

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols $\left({\frac {n}{m}}\right)$ auf beliebige ganzzahlige $m$. Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt und wird daher nach ihm benannt.

Definition

Es sei $m$ eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

$m=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},$

wobei $u$ eine Einheit ist (d. h. $u=\pm 1$) und die $p_{i}$ Primzahlen bezeichnen. Ist $n$ eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol $\left({\frac {n}{m}}\right)$ definiert durch

$\left({\frac {n}{m}}\right)=\left({\frac {n}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {n}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.$

Für ungerade $p_{i}$ ist die Zahl $\left({\frac {n}{p_{i}}}\right)$ einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall $p_{i}=2$ ist getrennt zu betrachten. Wir definieren $\left({\frac {n}{2}}\right)$ durch

$\left({\frac {n}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade,}}\\1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$

Der Faktor $\left({\frac {n}{u}}\right)$ in der Definitionsgleichung ist für $u=1$ gleich $1$ (Jacobi-Symbol). Für $u=-1$ definiert man

$\left({\frac {n}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{falls }}n<0,\\1&{\mbox{falls }}n\geq 0.\end{cases}}$

Schließlich setzt man noch

$\left({\frac {n}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=\pm 1,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen $n,m$ definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise $n\equiv 0,1{\bmod {4}}$ und $m>0$.

Für ungerades $m$ stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Eigenschaften

Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

• $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1,$ falls $\mathop {\rm {ggT}} (a,n)=1$, sonst $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=0$.
• $\left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right),$ außer wenn $n=-1$ gilt und eine der Zahlen $a,b$ gleich 0 ist und die andere negativ.
• $\left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)$, außer wenn $a=-1$ gilt und eine der Zahlen $m,n$ gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu $3{\bmod {4}}$ besitzt.
• Für $n>0$ gilt $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)$ wenn $a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&{\text{falls }}n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$ Wenn $a$ und $b$ das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für $n<0$.
• Für $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$, $a\neq 0$ gilt $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$, wenn $m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&{\text{falls }}a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades $n$ das Kronecker-Symbol $\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob $a$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo $n$ ist.

Quadratische Reziprozität

Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl $n\neq 0$ bezeichne $n'$ den ungeraden Anteil: $n=2^{e}n'$ mit ungeradem $n'$ (für $n=0$ wird $n'=1$ gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen $m,n$:

$\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}$

Dabei gilt das Pluszeichen von $\pm$, falls $m\geq 0$ oder $n\geq 0$ zutrifft, und das Minuszeichen, falls $m<0$ und $n<0$.

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen $m,n$ richtig ist:

$\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.$

Für eine beliebige ganze Zahl $n$ sei $n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n$. Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

$\left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)$

für beliebige ganze Zahlen $m,n$ (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl $n$ gilt

$\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}},$

für eine beliebige ungerade ganze Zahl $n$

$\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Kronecker-Symbol. In: MathWorld (englisch).