Lévy-Prozess

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Lévy-Prozesse, benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886–1971), sind stochastische Prozesse mit stationären, unabhängigen Zuwächsen. Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung von Größen, die zwar zufälligen, aber über die Zeit (in Verteilung) gleich bleibenden und voneinander unabhängigen Einflüssen ausgesetzt sind. Viele wichtige Prozesse, wie der Wiener-Prozess oder der Poisson-Prozess, sind Lévy-Prozesse.

Definition[Bearbeiten]

Sei  (X_t),\; t \in T ein stochastischer Prozess über der Indexmenge T (meist T= \mathbb{R}_{+} oder  T = \mathbb{N}_0 ). Man sagt, Xt habe unabhängige Zuwächse, wenn für alle  t_1 < t_2 < \ldots <t_n \in T die Zufallsvariablen  X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2}, \ldots X_{t_n}-X_{t_{n-1}} (die Zuwächse von Xt) unabhängig sind.

Ist die Verteilung der Zuwächse über gleich langen Zeitintervallen dieselbe, d. h. gilt

 X_{t_1+h}-X_{t_1} \sim X_{t_2 +h}-X_{t_2} \; \forall t_1,t_2 \in T, \; h>0,

so nennt man Xt einen Prozess mit stationären Zuwächsen.

Als Lévy-Prozesse bezeichnet man genau jene Prozesse (X_t), die unabhängige und stationäre Zuwächse aufweisen. Häufig wird zusätzlich noch verlangt, dass (fast sicher) X_0 = 0 gilt. Ist (X_t) ein allgemeiner Lévy-Prozess, dann wird durch Y_t = X_t - X_0 ein Lévy-Prozess (Y_t) mit Y_0 = 0 definiert. Im Folgenden sei stets X_0 = 0 vorausgesetzt.

Zeitdiskrete Lévy-Prozesse[Bearbeiten]

Gilt speziell T = \mathbb{N}_0 , so lässt sich die Klasse der Lévy-Prozesse sehr einfach charakterisieren: Es gibt nämlich für alle solchen Prozesse (X_n)_{n \in \N_0} eine Darstellung

 X_n= \sum_{i=1}^n Z_i,

wobei  Z_1, Z_2, \ldots unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Andererseits ist für jede Folge von unabhängigen Zufallsvariablen (Z_i)_{i\in\N}, die alle die gleiche beliebig vorgegebene Verteilung haben, durch X_0 = 0 und \textstyle X_n=\sum_{i=1}^n Z_i ein Lévy-Prozess X definiert. Im zeitdiskreten Fall ist ein Lévy-Prozess also im Prinzip nichts anderes als ein Random Walk mit beliebiger, aber gleich bleibender Sprungverteilung. Das einfachste Beispiel für einen zeitdiskreten Lévy-Prozess ist demnach auch der einfache, symmetrische Random Walk, bei dem  2 X_1 - 1 symmetrisch Bernoulli-verteilt ist. Hier bewegt sich der Prozess X, startend bei  X_0=0, in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit ½ um Eins nach oben, andernfalls um Eins nach unten.

Zeitstetige Lévy-Prozesse[Bearbeiten]

Ein Gamma-Prozess ist ein Lévy-Prozess, bei dem die Zuwächse unabhängig und gammaverteilt sind. Dies ist möglich, da die Gammaverteilung unendlich teilbar ist. Der Prozess ist fast sicher monoton wachsend, er ist also ein Subordinator. Der Prozess hat unendliche Aktivität und keine Diffusionskomponente. Die beiden zufälligen Pfade sind von Trajektorien von Gamma-Prozessen, mit den shape-Parametern 0.7 (rot) und 0.25 (blau)

Im Fall  T=[0,\infty) ist die Charakterisierung nicht mehr so leicht: So gibt es zum Beispiel keinen zeitstetigen Lévy-Prozess, bei dem X_1 wie oben Bernoulli-Verteilt ist.

Jedoch sind zeitstetige Lévy-Prozesse eng verwandt mit dem Begriff der unendlichen Teilbarkeit: Ist nämlich  (X_t)_{t \geq 0} ein Lévy-Prozess, so ist X_1 unendlich teilbar. Andererseits legt eine unendlich teilbare Zufallsvariable X_1 bereits die Verteilung des gesamten Lévy-Prozesses (X_t)_{t \geq 1} eindeutig fest. Jedem Lévy-Prozess entspricht also eine unendlich teilbare Verteilungsfunktion und umgekehrt.

Drei Trajektorien von Lévy-Prozessen vom Typ Variance-Gamma

Wichtige Beispiele für zeitstetige Lévy-Prozesse sind der Wiener-Prozess (auch Brownsche Bewegung genannt), bei dem die unendlich teilbare Verteilung von X_1 eine Normalverteilung ist, oder der Poisson-Prozess, bei dem die X_1 poisson-verteilt ist. Doch auch viele andere Verteilungen, beispielsweise die Gammaverteilung oder die Cauchy-Verteilung, können zur Konstruktion von Lévy-Prozessen herangezogen werden. Neben dem deterministischen Prozess X_t = \sigma t ist der Wiener-Prozess mit konstanter Drift und konstanter Volatilität der einzige stetige Lévy-Prozess, d. h. aus der Stetigkeit eines Lévy-Prozesses folgt schon die Normalverteilung seiner Zuwächse. Es existiert jedoch beispielsweise kein Lévy-Prozess mit gleichverteilten Zuständen.

Wichtig ist auch der Begriff der endlichen und unendlichen Aktivität: Gibt es in einem Intervall unendlich viele (und damit unendlich kleine) Sprünge oder nicht? Auskunft darüber gibt auch das Lévy-Maß.

Weiterhin sind Subordinatoren von Bedeutung, das sind Lévy-Prozesse mit fast sicher monoton wachsenden Pfaden. Ein Beispiel dafür ist der Gamma-Prozess. Die Differenz von zwei Gamma-Prozessen wird als variance-gamma-process bezeichnet.

Weitere Definition[Bearbeiten]

Ein stochastischer Prozess X_t,\,t\ge 0 über einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{F},P) heißt Lévy-Prozess, wenn

  • X_0=0,
  • X_t unabhängige und stationäre Zuwächse hat und
  • X_t stochastisch stetig ist, d. h. für beliebige \varepsilon>0 und t_0\ge 0 gilt
\lim_{t\to t_0} P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\varepsilon)=0.

Lévy-Chintschin Formel[Bearbeiten]

Für jeden \R^d-wertigen Lévy-Prozess (X_t)_{t \geq 0} lässt sich seine charakteristische Funktion schreiben in der Form:

\operatorname{E}(e^{i z X_t})=e^{t\psi(z)}

mit dem charakteristischen Exponenten

\psi(z)=-\frac{1}{2}\langle z, Az \rangle + i \langle \gamma, z \rangle + \int_{\R^d}(e^{i \langle z, x \rangle}-1-i \langle z, x\rangle 1_{|x|\le 1})\nu(dx)

und dem charakteristischen Tripel (A, \nu, \gamma). Dabei ist A \in \R^{d \times d} eine symmetrische positiv definite Matrix, \gamma \in \R^d ein Vektor und \nu ein Maß auf \R^d mit

\nu(\{0\}) = 0 und \int_{\R^d} \min(|x|^2,1) \, \mathrm{d}\nu(x) < \infty.

Das charakteristische Tripel ist durch den Prozess eindeutig bestimmt.

Benannt ist diese Darstellung der charakteristischen Funktion eines Lévy-Prozesses nach Paul Lévy und Alexandr Chintschin.

Wichtige Eigenschaften[Bearbeiten]

\operatorname{E}(X_t) = t \operatorname{E}(X_1). Analog gilt für die Varianz
\operatorname{Var}(X_t) = t \operatorname{Var}(X_1) (vorausgesetzt die entsprechenden Momente existieren zum Zeitpunkt 1). Für die Kovarianzfunktion gilt
\operatorname{Cov}(X_s,X_t) = \operatorname{Var}(X_{\min(s,t)})= \min(s,t) \operatorname{Var}(X_1) .

Literatur[Bearbeiten]

  • J. Bertoin: Lévy Processes. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 121, Cambridge University Press 2002, ISBN 0-52164-632-4
  • A. E. Kyprianou: Introductory Lectures on fluctuations of Lévy process with applications. Universitext, Springer.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4
  • Rama Cont, Peter Tankov: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall, 2003, ISBN 1-584-88413-4
  • Ken-iti Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge studies in advanced mathematics, 1999, ISBN 0-521-55302-4

Weblinks[Bearbeiten]