Laurent-Polynom

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Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring ist ein Ausdruck der Form

,

bei dem nur endlich viele Ringelemente von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: ,

Multiplikation: .

Diese Operationen machen die Menge zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über . Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: .

In vielen Anwendungen ist ein Körper, ist dann eine -Algebra.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Man erhält aus dem Polynomring , indem man die Unbestimmte invertiert. Der Laurent-Ring über ist damit die Lokalisierung von nach der von den positiven Potenzen von erzeugten Halbgruppe.
  • Die Einheiten von sind von der Form , wobei eine Einheit und ist.
  • Der Laurent-Ring über ist isomorph zum Gruppenring von über .

Derivationen des Laurent-Rings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes durch die Definition eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf ist. Ist nämlich eine solche Derivation, so ist und man kann zeigen.[1]

Die Derivationen , bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

  • für alle .

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

  • für alle .

Daher nennt man auch die Grad-Derivation.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1