Eine maximalinvariante Statistik ist eine spezielle Abbildung in der mathematischen Statistik. Maximalinvariante Statistiken spielen eine wichtige Rolle bei der Reduktion durch Invarianz und der Konstruktion von optimalen invarianten Schätzern.
Gegeben sei eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe
sowie eine Menge
![{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{\gamma }\mid \gamma \in {\mathcal {G}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6559d35aee36468ad9ce895e35c2b8412a7ad8)
von messbaren Transformationen auf den Messraum
. Dies bedeutet, dass
![{\displaystyle u_{\gamma }\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (X,{\mathcal {A}}_{X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245c24c511a22103924bc64f7f7ad2e9f004ecba)
- bijektiv und bimessbar ist.
![{\displaystyle \gamma \mapsto u_{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5c58e08d14906ba7e9244b438fb609ca7b2544)
- ist ein Gruppenhomomorphismus von
nach
, versehen mit der Komposition von Funktionen
. Für alle
und alle
gilt also
.
Sei
ein weiterer Messraum. Dann heißt eine messbare Funktion
![{\displaystyle T\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Y,{\mathcal {A}}_{Y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac58bfe48c2af4ff6091bb8a3ed891c0a5484c9)
eine maximalinvariante Statistik, wenn gilt:
ist invariant, das heißt, es gilt
für alle
und alle
(bzw. alle
).
- Sind
, so dass
gilt, so existiert ein
(bzw. ein
), so dass
ist.
Betrachte als Beispiel
und
. Die Gruppe
seien die reellen Zahlen
, versehen mit der Addition
als Verknüpfung. Für
definiere die bijektive, bimessbare Abbildung
.
Hierbei bezeichnet
den Einsvektor. Die Abbildung
verschiebt also jeden Vektor
um
entlang der Diagonalen.
Bezeichnet man mit
das arithmetische Mittel des Vektors
, so ist eine maximalinvariante Statistik gegeben durch
.
Denn das arithmetische Mittel ist verschiebungsäquivariant, erfüllt also
,
woraus sich
![{\displaystyle T(u_{\gamma }(x))=T(x+\gamma \mathbf {1} )=x+\gamma \mathbf {1} -({\overline {x}}+\gamma )\mathbf {1} =x-{\overline {x}}\cdot \mathbf {1} =T(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a422fff27b53553628f3078874b8a59b3d335b)
ergibt. Also ist
invariant. Gilt nun
, so ist
,
woraus sich
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}+({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})\mathbf {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de64cbd02ef6e430d3c19e753107e97cb5d8891)
ergibt. Dies entspricht genau einer Verschiebung von
um
entlang der Diagonalen. Somit gilt
. Also ist
maximalinvariant.
Bezeichne
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{x^{*}}:=\{x\in X\mid {\text{ es existiert ein }}\gamma \in {\mathcal {G}},{\text{ so dass }}u_{\gamma }(x^{*})=x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b720fd27c10b3345b8e70fb6b2be04a78dfc52)
den Orbit von
, also die Menge aller Elemente, die aus
durch Gruppenoperationen hervorgeht. Dann bedeutet die Invarianz von
, dass
auf einem gegebenen Orbit konstant ist. Sind also
, so ist
.
Umgekehrt bedeutet das zweite Kriterium in der Definition, dass die Orbits eindeutig durch die Funktionswerte von
identifiziert werden können. Die Niveaumengen von T
![{\displaystyle {\mathcal {N}}_{y}=\{x\in X\mid T(x)=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b5cb7c228c31ec5dfef9eb196f590a81592052)
sind also eindeutig bestimmte Orbits (oder leer).
Maximalinvariante Statistiken sind in dem Sinne maximal, als dass sie alle weiteren invarianten Statistiken erzeugen. Konkret bedeutet dies, dass wenn
![{\displaystyle T\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Y,{\mathcal {A}}_{Y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac58bfe48c2af4ff6091bb8a3ed891c0a5484c9)
eine maximalinvariante Statistik ist und
![{\displaystyle S\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Z,{\mathcal {A}}_{Z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee993669b299d5b742f61b0e903224f9729430e7)
eine invariante Statistik, so existiert eine Funktion
,
für die
![{\displaystyle S=h(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04df194b77e6b24dbd55f68b9d64dfe8ef975805)
gilt. Jede invariante Statistik ist somit die Komposition einer maximalinvarianten Statistik und einer weiteren Funktion
. Die Funktion
ist im Allgemeinen jedoch nicht messbar.