Mittlere freie Weglänge

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die mittlere freie Weglänge \lambda ist die durchschnittliche Weglänge, die ein Teilchen (z. B. Atom, Molekül, Ion oder Elektron) in einem gegebenen Material ohne Stoß (irgendeiner Art) mit anderen Teilchen zurücklegt. Hat ein Teilchenstrom im jeweiligen Medium eine Strecke dieser Länge durchlaufen, so hat nur der Bruchteil 1/e von allen Teilchen, also rund ein Drittel, noch keinen Stoß ausgeführt.

Definition[Bearbeiten]

Die mittlere freie Weglänge hängt mit der Teilchendichte n  (Anzahl der Teilchen pro Volumen) und dem Wirkungsquerschnitt \sigma zusammen:

\lambda = \frac{1}{n \cdot \sigma}

Anschaulich ist 1/n das Volumen, in dem sich durchschnittlich ein Teilchen befindet; die mittlere freie Weglänge multipliziert mit dem Wirkungsquerschnitt spannt einen Zylinder mit diesem Volumen auf.

Abschätzung bei Gasen[Bearbeiten]

Der geometrische Wirkungsquerschnitt beim Stoß zweier kugelförmiger Teilchen mit gleichem Durchmesser d ergibt sich zu

 \sigma_\text{geom} = \pi \, d^2 .

Daraus folgt die geometrische mittlere freie Weglänge zu

 \lambda_\text{geom} = \frac {1}{\pi \, n \, d^2} .

Für Moleküle erlauben Gleichgewichtsbetrachtungen unter Annahme einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Abschätzung

 \lambda = \frac {1}{\sqrt{2}\, \pi \, n \, d^2}

mit einem Minimalabstand d,[1] welcher dem Durchmesser eines Gasmoleküls entspricht.

Definition für zwei Arten von Teilchen[Bearbeiten]

In einem Raumbereich, der zwei Arten von Teilchen enthält, sind drei Arten von Stößen möglich: Zwei Teilchen vom Typ 1 stoßen aneinander, zwei Teilchen vom Typ 2 stoßen aneinander oder beim Stoß ist ein Teilchen vom Typ 1 und ein Teilchen vom Typ 2 beteiligt. Die Anzahldichte der Teilchenarten seien n_1 bzw. n_2, und die Wirkungsquerschnitte \sigma_1, \sigma_2 und \sigma_{12}.

Die mittleren freien Weglängen für Stöße von Teilchen jeweils an ihresgleichen sind mit der obigen Formel schon definiert:

\lambda_1 = \frac{1}{n_1 \cdot \sigma_1} bzw. \lambda_2 = \frac{1}{n_2 \cdot \sigma_2}

Entsprechend definiert man die mittlere freie Weglänge [2] eines Teilchens vom Typ 2 im Medium vom Typ 1

\lambda_{21} = \frac{1}{n_1 \cdot \sigma_{12}}

Analog definiert man \lambda_{12} beim Stoß eines Teilchens vom Typ 1 im Medium vom Typ 2, wobei in beiden Fällen der Wirkungsquerschnitt \sigma_{12} gleich ist.

Der Wirkungsquerschnitt und die mittlere freie Weglänge zweier unterschiedlicher Teilchen werden meist ohne Index oder andere Auszeichnungszeichen geschrieben, also \sigma=\sigma_{12} und entsprechend \lambda=\lambda_{21}

\lambda = \frac{1}{n_1 \cdot \sigma}.

Der Index der Anzahldichte n_1 wird in der Regel ebenfalls weggelassen, wenn es nur um die mittlere freie Weglänge von Teilchen in irgendeinem Medium mit Teilchen vom Typ 1 geht. Dann scheinen die eingangs dieses Artikels gegebene Definition der mittleren freien Weglänge und die zuletzt gegebene Gleichung formelmäßig gleich zu sein (und werden deshalb auch manchmal verwechselt). Die Anzahldichten der Teilchen n und n_1 sind aber unterschiedliche Größen. Bei n handelt es sich um die Anzahldichte der Teilchen von nur einem Typ, bei n_1 aber um die Anzahldichte der Teilchen des Mediums.

Ähnlich wie beim Billardspiel bewirkt der elastische Stoß zweier Teilchen Richtungsänderungen beider Teilchen, allerdings, im Unterschied zum Billardspiel, im dreidimensionalen physikalischen Raum und mit Teilchen unterschiedlicher Größe. Häufig bedeutet ein Stoß zweier unterschiedlicher Teilchenarten auch, dass sie eine Reaktion miteinander eingehen. Sind die Stoßpartner zum Beispiel zwei Atome, kann ein Molekül gebildet werden, sind die Stoßpartner ein Neutron und ein Atomkern, kann ein anderes Nuklid entstehen oder ein Atomkern gespalten werden.

Intuitiv gehen wir davon aus, dass beide Stoßpartner Teilchen eines Gases sind, denn nur dort können sich beide Stoßpartner frei bewegen, was überhaupt erst nahelegt, von einer freien Weglänge zu sprechen. Es gibt aber auch Stöße und mittlere freie Weglängen, wenn ein Stoßpartner ein Teilchen eines Festkörpers oder einer Flüssigkeit ist (Teilchen vom Typ 1), und sich nur der zweite Stoßpartner wie ein Teilchen eines Gases verhält (Teilchen vom Typ 2). Dabei sind in der Regel Stöße von Teilchen vom Typ 1 mit Teilchen vom Typ 2 von Interesse.

Abschätzung für den Stoß von zwei Arten von Teilchen[Bearbeiten]

Der geometrische Wirkungsquerschnitt beim elastischen Stoß zweier starrer Kugeln mit den Radien r_1 bzw. r_2 ist

 \sigma_\text{geom} = \pi \, (r_1+r_2)^2 .

Die geometrische mittlere freie Weglänge wird damit

 \lambda_\text{geom} = \frac {1}{\pi \, n_1 \, (r_1+r_2)^2} .

Der geometrische Wirkungsquerschnitt der elastischen Streuung hängt nicht von den kinetischen Energien der Kugeln ab. Diese Aussage ist selbstverständlich, war doch bisher von den kinetischen Energien der Kugeln keine Rede. Reale Wirkungsquerschnitte und damit die mittleren freien Weglängen, können dagegen stark von der kinetischen Energie der Stoßpartner abhängen. Sie können folglich durch dieses einfache geometrische Modell auch nicht berechnet werden. Es kann aber hilfreich sein, auch im Fall realer Wirkungsquerschnitte den Bezug zur Geometrie nicht aus dem Blickfeld zu verlieren. Insbesondere eignet sich der geometrische Wirkungsquerschnitt als Bezugsgröße, etwa in der Art: Der reale Wirkungsquerschnitt ist 10 mal größer als der geometrische. Dann ist die reale mittlere freie Weglänge ein Zehntel der geometrischen.

Stöße von Neutronen und Atomkernen[Bearbeiten]

Stöße von Neutronen und Atomkernen sind (gegenwärtig) der wichtigste Fall in der Physik für Stöße von zwei Arten von Teilchen und nicht nur ein Beispiel unter anderen. Sie prägen die Reaktorphysik wie kein anderes Fachgebiet. Freie Neutronen (Teilchen vom Typ 2) bewegen sich (i. allg. chaotisch wie Moleküle im Gas) in einem Festkörper oder einer Flüssigkeit („Wirtsmedium“). Wir nehmen an, das Wirtsmedium bestehe aus nur einer Teilchenart (Teilchen von Typ 1), aus nur einer Atomart. Man denke etwa an Graphitatome. Da jedes Atom nur einen Atomkern besitzt, ist die Anzahldichte der Atome gleich der Anzahldichte der Atomkerne. Ihre Anzahldichte sei n_1, die der Neutronen n_2.

Wenn von mittlerer freier Weglänge in der Reaktorphysik die Rede ist, ist stets die zweite Definition dieser Größe gemeint, die mittlere freie Weglänge von Neutronen in Materie. Der Kehrwert der mittleren freien Weglänge diese Typs trägt den Namen Makroskopischer Wirkungsquerschnitt und das Symbol \Sigma

\Sigma = \frac{1}{\lambda} =  n_1 \cdot \sigma .

Der makroskopische Wirkungsquerschnitt ist eine der wichtigsten Größen der Reaktorphysik überhaupt. Wirkungsquerschnitte von Kernreaktionen hängen, wie bereits kurz erwähnt, extrem stark von der Energie ab und sind somit auch nicht mehr geometrisch zu erklären. Nur im Fall der elastischen Streuung von Neutronen an den Atomkernen gebräuchlicher Moderatoren führt das oben angegebene geometrische Modell auf mittlere freie Weglängen, die in der Größenordnung der gemessenen Werte liegen. Das gilt zumindest für Neutronen mit kinetischen Energien in einem gewissen mittleren Intervall.

Neutronen untereinander stoßen sich auch. Dies ist ein Fall für die erste Definition der mittleren freien Weglänge. Die Anzahldichte der Neutronen ist selbst im Hochflussreaktor vergleichsweise gering. Klein ist auch der Wirkungsquerschnitt für den Stoß zweier Neutronen. Deshalb wird vermutlich in keinem Lehrbuch der Reaktor- oder Neutronenphysik die mittlere freie Weglänge für diesen Typ von Stoß auch nur erwähnt.

Atomkerne untereinander können sich nicht stoßen. Selbst im Fall, dass das Medium, in dem die Neutronen sich bewegen, Helium-Gas ist wie im Hochtemperaturreaktor, stoßen allenfalls Helium-Atome aufeinander. Allerdings lässt sich, falls erforderlich, die mittlere freie Weglänge für solche Atomstöße mit der oben gegebenen ersten Definitionsformel und dem geometrischen Wirkungsquerschnitt, der um Größenordnungen den der Atomkerne übertrifft, berechnen.

Beispiele[Bearbeiten]

Gasmoleküle[Bearbeiten]

Die mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls beträgt in Luft etwa 68 Nanometer unter Standardbedingungen.

Nachfolgende Tabelle listet freie Weglängen für Gasmoleküle bei verschiedenen Drücken auf:

Druckbereich Druck in hPa Teilchendichte n
in Moleküle pro cm³
mittlere freie Weglänge \lambda
Umgebungsdruck 1013 2,7·1019 68 nm
Grobvakuum 300 … 1 1019 … 1016 0,1 … 100 μm
Feinvakuum 1 … 10−3 1016 … 1013 0,1 … 100 mm
Hochvakuum (HV) 10−3 … 10−7 1013 … 109 10 cm … 1 km
Ultrahochvakuum (UHV) 10−7 … 10−12 109 … 104 1 km … 105 km
extr. Ultrahochv. (XHV) <10−12 <104 >105 km

Elektronen[Bearbeiten]

Universelle Kurve für die inelastische mittlere freie Weglänge von Elektronen in Elementen basierend auf Gleichung (5) in [3]

Die mittlere freie Weglänge freier Elektronen ist wichtig bei Anwendungen von Elektronenstrahlen im Vakuum (z. B. bei bestimmten oberflächensensitiven analytischen Methoden oder in Braunschen Röhren). Sie hängt von der kinetischen Energie des Elektrons ab.

Die inelastische freie Weglänge im Festkörper kann für die meisten Metalle mit einer „Universellen Kurve“ abgeschätzt werden.[3] Bei Energien um 100 eV ist sie für die meisten Metalle am geringsten, da hier Prozesse im Festkörper (z. B. Plasmonen) angeregt werden können. Bei höheren und niedrigeren Energien sind die mittleren freien Weglängen im Festkörper größer. In gasförmigen Isolierstoffen (z. B. Schwefelhexafluorid) beeinflusst die mittlere freie Weglänge die elektrische Durchschlagfestigkeit. Der Wirkungsquerschnitt für elastische Stöße ist meist kleiner als der für inelastische Stöße.[4]

Für Elektronen im Impulsraum (siehe Fermi-Kugel) betrachtet man statt der Weglänge die mittlere freie Flugzeit.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. William C. Hinds: Aerosol Technology: Properties, Behavior, and Measurement of Airborne Particles. Wiley-Interscience, New York 1999, ISBN 0-471-19410-7.
  2.  Paul Reuss: Neutron physics. EDP Sciences, Les Ulis, France 2008, ISBN 978-2-7598-0041-4, S. xxvi, 669., p. 50
  3. a b M. P. Seah, W. A. Dench: Quantitative electron spectroscopy of surfaces: A standard data base for electron inelastic mean free paths in solids. In: Surface and Interface Analysis. 1, 1979, S. 2, doi:10.1002/sia.740010103.
  4. Wolfgang S. M. Werner: Electron transport in solids for quantitative surface analysis. In: Surface and Interface Analysis. 31, 2001, S. 141, doi:10.1002/sia.973.