Monoidring

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring mit Eins und ein Monoid, dann ist

für alle bis auf endlich viele

mit der Addition

und der Faltung

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt oder einfach für die Abbildung , die an der Stelle den Wert und ansonsten annimmt. Beispielsweise gilt dann

besitzt ein Einselement, nämlich , wobei das Einselement von und das Neutralelement von ist.

Ist eine Gruppe, so heißt Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise ist üblich.

wird zur -Algebra via

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn als Monoid kommutativ ist.
  • Jedes Element lässt sich eindeutig schreiben als mit
  • und sind auf natürliche Weise in eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen und , wobei wie oben definiert ist.
  • Falls ein Monoid ist, kommutative Ringe und ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus . sodass

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch - bis auf Isomorphie - über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien und wie oben definiert. Es bezeichne die Kategorie der Monoide und die Kategorie der (assoziativen) -Algebren. Sei der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder -Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus in das multiplikative Monoid einer -Algebra haben, dann existiert genau ein -Algebra-Homomorphismus , so dass .

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht wie folgt aus: .

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über zuordnet, mit bezeichnen, ist also linksadjungiert zu . So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über .
  • Ist allgemeiner ein freies kommutatives Monoid in Erzeugern, so ist isomorph zum Polynomring in Unbestimmten über .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch: Gruppen-C*-Algebra
  • Es sei eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist nicht diskret, so enthält der Gruppenring keine Information über die topologische Struktur von . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: es sei ein linksinvariantes Haarmaß auf . Dann bildet der Raum mit der Faltung
als Produkt eine Banachalgebra.
  • Ist ein Ring und eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.
aus und folgt
so sei
mit Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird zu einem Ring. Ist ein Körper, so ist ein Schiefkörper. Ist beispielsweise mit der natürlichen Ordnung, so ist der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)