Orthogonale Regression

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Orthogonale Regression. Die roten Linien stellen die Abstände der Messwertpaare von der Ausgleichsgeraden dar.

In der Statistik dient die orthogonale Regression (genauer: orthogonale lineare Regression) zur Berechnung einer Ausgleichsgeraden für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (xi,yi) nach der Methode der kleinsten Quadrate. Wie in anderen Regressionsmodellen wird dabei die Summe der quadrierten Abstände der (xi,yi) von der Geraden minimiert. Im Unterschied zu anderen Formen der linearen Regression werden bei der orthogonalen Regression nicht die Abstände in x- bzw. y-Richtung verwendet, sondern die orthogonalen Abstände.

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression. Sie wurde erstmals 1840 im Zusammenhang mit einem geodätischen Problem von Julius Weisbach angewendet[1], 1878 von Robert James Adcock in die Statistik eingeführt[2] und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.[3]

Rechenweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es wird eine Gerade

y = β0 + β1x

gesucht, die die Summe der quadrierten Abstände der (xi,yi) von den zugehörigen Fußpunkten (xi*,yi*) auf der Geraden minimiert. Wegen yi* = β0 + β1xi* berechnet man diese quadrierten Abstände zu (yi - β0 - β1xi*)2 + (xi - xi*)2, deren Summe minimiert werden soll:

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

    (arithmetisches Mittel der xi)
    (arithmetisches Mittel der yi)
    (Stichprobenvarianz der xi)
    (Stichprobenvarianz der yi)
    (Stichprobenkovarianz der (xi,yi))

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:[4][5][6]

Die x-Koordinaten der Fußpunkte berechnet man mit

Alternativer Rechenweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abstand di eines Punktes P(xi;yi) zur Geraden y=mx+t

Der geometrische Abstand eines Messpunktes zu einer Ausgleichsgeraden

lässt sich wie folgt berechnen:

Gesucht sind nun die Koeffizienten und mit der kleinsten Summe der Fehlerquadrate.

Berechnung der partiellen Ableitung nach [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung

ergibt als Lösung

Dabei wird als der Mittelwert der x-Koordinaten der Messpunkte bezeichnet. Analog dazu ist der Mittelwert der y-Koordinaten der Messpunkte. Diese Lösung hat auch zur Folge, dass der Punkt auf der Ausgleichsgeraden liegt.

Berechnung der partiellen Ableitung nach [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung

ergibt folgende quadratische Gleichung:

Dabei ist

Auf Grund des Steigungsverhaltens dieser Parabel ergibt sich für das Minimum hier die eine Lösung:

Die Gleichung der geometrischen Ausgleichsgeraden lautet somit:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

f(x) = 0,8 ( x - 3,3 ) + 4,1
P1 1,0 2,0 -2,3 -2,1 5,29 4,83 4,41
P2 2,0 3,5 -1,3 -0,6 1,69 0,78 0,36
P3 4,0 5,0 0,7 0,9 0,49 0,63 0,81
P4 4,5 4,5 1,2 0,4 1,44 0,48 0,16
P5 5,0 5,5 1,7 1,4 2,89 2,38 1,96
Summe
Mittelwert

Es ergibt sich und die geometrische Ausgleichsgerade lautet daher wie folgt:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. J. Weisbach: Bestimmung des Hauptstreichens und Hauptfallens von Lagerstätten. In: Archiv für Mineralogie, Geognosie, Bergbau und Hüttenkunde. 14, 1840, S. 159-174.
  2. R. J. Adcock: A problem in least squares. In: Annals of Mathematics (Hrsg.): The Analyst. 5, Nr. 2, 1878, S. 53–54. JSTOR 2635758. doi:10.2307/2635758.
  3. W. E. Deming: Statistical adjustment of data. Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985), 1943, ISBN 0-486-64685-8.
  4. P. Glaister: Least squares revisited. The Mathematical Gazette. Vol. 85 (2001), S. 104–107.
  5. Casella, G., Berger, R. L.: Statistical Inference. 2. Auflage. Cengage Learning, Boston 2008, ISBN 978-0495391876
  6. Hedderich, J., Sachs, L.: Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. 15. Auflage. Springer Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3662456903