Lerchsche Zeta-Funktion

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Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Funktionen

und

werden als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]

Ferner ist

mit der catalanschen Konstanten , der Glaisher-Kinkelin-Konstanten und der Apery-Konstanten der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integraldarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

Das Kurvenintegral

darf die Punkte nicht enthalten.

Ferner ist

und

Reihendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihendarstellung für die transzendente Lerch ist

Sie gilt für alle und komplexe mit ; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls positiv und ganz ist, gilt

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

gegeben.

Ist , gilt

Der Spezialfall hat folgende Reihe:

Die asymptotische Entwicklung für ist gegeben durch

und

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

Identitäten und weitere Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: , L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
  • M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series , J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
  • Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
  • Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
  2. Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)