Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen .
Schreibweisen:
y
=
artanh
(
x
)
=
tanh
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)}
y
=
arcoth
(
x
)
=
coth
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcoth} (x)=\coth ^{-1}(x)}
Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist
artanh
(
x
)
=
tanh
−
1
(
x
)
≠
tanh
(
x
)
−
1
=
1
tanh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\tfrac {1}{\tanh(x)}}}
Areatangens hyperbolicus:
artanh
(
x
)
:=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
f
u
¨
r
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1}
Areakotangens hyperbolicus:
arcoth
(
x
)
:=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
f
u
¨
r
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1}
Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,y)=(0,0)}
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(
x
,
−
y
)
=
(
x
,
−
x
2
−
1
)
{\displaystyle (x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
(
x
,
y
)
=
(
x
,
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle (x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
A
=
artanh
(
y
x
)
{\displaystyle A=\operatorname {artanh} \left({\frac {y}{x}}\right)}
Graph der Funktion artanh(x)
Graph der Funktion arcoth(x)
Areatangens hyperbolicus
Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle -1<x<1}
−
∞
<
x
<
−
1
{\displaystyle -\infty <x<-1}
1
<
x
<
∞
{\displaystyle 1<x<\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<\infty }
−
∞
<
f
(
x
)
<
∞
;
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle -\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0}
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
keine
Symmetrien
ungerade Funktion:
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
ungerade Funktion:
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
Asymptoten
x
=
1
:
f
(
x
)
→
∞
für
x
→
1
{\displaystyle x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1}
x
=
−
1
:
f
(
x
)
→
−
∞
für
x
→
−
1
{\displaystyle x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1}
y
=
0
:
f
(
x
)
→
0
für
x
→
±
∞
{\displaystyle y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty }
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind
artanh
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
+
1
3
x
3
+
1
5
x
5
+
1
7
x
7
+
…
arcoth
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
x
−
(
2
k
−
1
)
2
k
−
1
=
x
−
1
+
1
3
x
−
3
+
1
5
x
−
5
+
1
7
x
−
7
+
…
=
∑
k
=
0
∞
1
(
2
k
+
1
)
⋅
x
2
k
+
1
=
1
x
+
1
3
x
3
+
1
5
x
5
+
1
7
x
7
+
…
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\ldots &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots &{}\end{alignedat}}}
d
d
x
artanh
(
x
)
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1}
d
d
x
arcoth
(
x
)
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1}
Die Stammfunktionen lauten:
∫
artanh
(
x
)
d
x
=
x
⋅
artanh
(
x
)
+
1
2
ln
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C}
∫
arcoth
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arcoth
(
x
)
+
1
2
ln
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C}
artanh
(
x
)
±
artanh
(
y
)
=
artanh
(
x
±
y
1
±
x
y
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)\pm \operatorname {artanh} (y)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \right)}
arcoth
(
x
)
±
arcoth
(
y
)
=
arcoth
(
1
±
x
y
x
±
y
)
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)\pm \operatorname {arcoth} (y)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm xy}{x\pm y}}\ \right)}
Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]
artanh
(
z
)
=
1
i
arctan
(
i
z
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} (z)={\frac {1}{i}}\arctan(iz)}
arcoth
(
z
)
=
1
i
arccot
(
−
i
z
)
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)={\frac {1}{i}}\operatorname {arccot}(-iz)}
