Reiner und gemischter Zustand

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Die Begriffe reiner und gemischter Zustand (besser: Zustandsgemisch) bezeichnen in der Quantenstatistik, dem Teilgebiet der Quantenmechanik für Vielteilchensysteme, bestimmte quantenmechanische Zustände.

Reiner Zustand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein reiner Zustand liegt vor, wenn das betrachtete System in einem fest definierten Zustand ist, der durch einen Zustandsvektor aus dem Hilbertraum beschrieben wird. Dann findet man es mit der Wahrscheinlichkeit in diesem Zustand . Somit ist der Dichteoperator

gerade die Projektion auf den Zustand . Diese ist idempotent, d. h., es gilt .

Eine alternative Definition eines reinen Zustandes lässt sich auch auf den allgemeineren Zustandsbegriff für C*-Algebren von Operatoren erweitern. Ein Zustand auf einer C*-Algebra ist ein positives lineares Funktional mit Norm 1, also eine Abbildung mit und . Die Menge der Zustände bildet eine konvexe Menge. Ein reiner Zustand ist ein Zustand, der extremal in ist. D. h., ein reiner Zustand lässt sich nicht als Konvexkombination (eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten, deren Summe 1 ergibt) zweier anderer Zustände beschreiben.

Zustandsgemische[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch. Dieses wird manchmal auch als gemischter Zustand bezeichnet, was aber unpassend ist, weil dann zwischen kohärenter und inkohärenter Mischung zu unterscheiden ist, und die kohärente Mischung gerade nicht zu einem Zustandsgemisch sondern zu einem reinen Zustand führt. Gewöhnlich wird die „kohärente Mischung“ als Überlagerung bezeichnet. Dabei werden Wellenfunktionen linear superponiert, mit komplexen Faktoren , die unter anderem Phaseninformation ausdrücken. ‚Inkohärente Mischung‘ beschreibt zunächst Ensemble, in denen Objekte in reinen Zuständen statistisch mit Wahrscheinlichkeiten , , gemischt sind. Dabei spielen die Phasen der keine Rolle. Ein solcher ‚Zustand‘ wird dann auch den einzelnen Objekten des Ensembles zugeschrieben. Es ist aber zu beachten, dass das Objekt bei einer Messung die Zustände im Allgemeinen nicht mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit zeigen wird. Dies geschieht nur, wenn die zusammengemischten Zustände orthogonal sind.

Ein analoger Unterschied besteht in der Optik zwischen der kohärenten Addition von Amplituden (Wellenoptik) und der inkohärenten Addition von Intensitäten (Strahlenoptik). Bei inkohärenter Überlagerung, also bei einem Zustandsgemisch, tritt an die Stelle des Projektionsoperators der Dichteoperator, den man als Linearkombination der einzelnen Projektionsoperatoren bildet:

.

Zustandsgemische verschiedener Zusammensetzung lassen sich nur dann durch Messungen (von geeigneten Observablen) unterscheiden, wenn ihre Dichteoperatoren sich unterscheiden. Ein reiner Zustand ist der Spezialfall eines Gemischs mit nur einer Komponente.

Sind die gemischten reinen Zustände orthogonal, so sind sie die Eigenzustände des Dichteoperators und die sind die zugehörigen Eigenwerte.

Zustandsgemische entstehen häufig, z. B. wenn beim Präparieren des Systems unterschiedliche reine Zustände mit relativen Häufigkeiten erzeugt werden. Der Erwartungswert eines beliebigen Operators (mit Eigenwerten und Eigenzuständen ) ist die mit den gewichtete Summe der Erwartungswerte von in jedem der inkohärent gemischten Zustände :

Sind die reinen Zustände orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht. Vielmehr gilt für die Wahrscheinlichkeit, das Gemisch in einem bestimmten Zustand zu finden:

Unterschiedliche Zusammensetzungen können die gleiche Dichtematrix erzeugen:

Hierbei sind die Zustände und die Eigenzustände des Spin-1/2-Systems zur z- bzw. x-Achse. Die beiden Formeln mit unterschiedlichen Projektionsoperatoren scheinen einmal die z-Achse, das andere Mal die x-Achse auszuzeichnen. Sie sind jedoch identisch, wie man erkennt, wenn man die üblichen Identifikationen und benutzt (siehe z. B. Bell-Zustand).

Den Dichteoperator eines inkohärenten Zustandsgemischs (aus mindestens zwei Zuständen) erkennt man daran, dass für ihn gilt: während bei kohärenter Mischung immer das Gleichheitszeichen gilt,

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das prominenteste Beispiel für inkohärente Superposition gibt die Thermodynamik bzw. Statistische Physik (Quantenstatistik). Hier ist . Dabei ist die reziproke Fermi-Temperatur T, genauer: mit der Boltzmann-Konstante   ist der Hamiltonoperator (Energieoperator) des Systems; es ist also  Z(T) schließlich ist die sogenannte Zustandssumme, was entspricht. Für die thermodynamische Entropie des Systems gilt: mit der im Artikel Bell-Zustand statistisch definierten Von-Neumann-Entropie Beide Entropien sind also im Wesentlichen identisch.

Das prominenteste Beispiel für kohärente Superpositionen gibt die Laserstrahlung. Hier strahlen die Laseratome gleichphasig, also im Takt. Es werden Übergänge zwischen unterschiedlichen „reinen“ Energiezuständen des bestrahlten Systems induziert, wobei die Übergangrate, das ist die Zahl der Übergänge dividiert durch die Zeit, nicht wie bei inkohärenter Strahlung konstant ist, sondern z. B. über eine gewisse Zeitspanne sehr rasch anwächst. Die erzeugte Strahlungsintensität () ist sehr viel größer als bei inkohärenter Anregung ( verglichen mit bei inkohärentem Licht. Dabei ist , die Zahl der beteiligten Atome, extrem groß, sodass um viele Zehnerpotenzen größer ist als )

Bei inkohärenter Anregung erfolgen die Energieübergänge nicht im Takt, sondern z. B. mit Zufallsphasen. Für die mittlere Übergangsrate gilt jetzt eine sog. „Goldene Regel“ von E. Fermi.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. Lin, An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras, World Scientific (2001)