Zustand (Mathematik)

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Ein Zustand ist ein mathematischer Begriff, der in der Funktionalanalysis untersucht wird. Es handelt sich um bestimmte lineare Funktionale auf reellen oder komplexen Vektorräumen, die in gewisser Weise normiert sind. Oft sind die Definitionen so angelegt, dass die Zustände bezüglich einer Ordnungsstruktur positiv sind, das heißt, dass sie die positiven Elemente dieser Ordnung auf nicht-negative reelle Zahlen abbilden. Ferner bildet der Zustandsraum, das ist die Menge der Zustände, einen topologisch oder geometrisch interessanten Raum.

Involutive Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der für Anwendungen wichtigste Fall ist der eines Zustandes auf einer involutiven Algebra, der wie folgt erklärt ist. Es sei eine normierte -Algebra, wobei für einen der Körper oder stehe, auf der zusätzlich eine Involution definiert sei.

Ein Zustand auf ist ein stetiges, lineares Funktional mit

  • für alle
  • . [1]

Die Menge aller Zustände heißt Zustandsraum und wird oft mit bezeichnet (S steht für das englische Wort state für Zustand). Ersetzt man die Bedingung durch , so spricht man von einem Quasizustand; der Quasizustandsraum ist die Menge aller Quasizustände. Hat ein Einselement , so fordert man zusätzlich noch .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorzustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine involutive Unteralgebra von , der Algebra der beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit Einselement . Ist dann ein Vektor der Norm 1, so definiert dieser durch

für

einen Zustand auf , den sogenannten durch definierten Vektorzustand, denn es gilt für jedes

und

Hier gilt Gleichheit, denn . Daher ist ein Zustand.

Ist eine Zahl vom Betrag 1, ein insbesondere in der Physik sogenannter Phasenfaktor, so definieren und denselben Zustand, denn für ist

.

In der Quantenmechanik identifiziert man auf 1 normierte Hilbertraumvektoren mit quantenmechanischen Zuständen, meint aber eigentlich die durch sie definierten Vektorzustände, denn der Messwert einer Observablen im Zustand ist . Damit wird klar, dass ein Hilbertraumvektor einen Zustand nur bis auf einen Phasenfaktor, der in der Form auftritt, eindeutig bestimmt.

Räume von Maßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die C*-Algebra der stetigen Funktionen , die Involution wird durch die komplexe Konjugation definiert. Der Dualraum ist bekanntlich der Raum der signierten Borelmaße, wobei die Operation eines solchen Maßes auf eine stetige Funktion durch

gegeben ist. Da

,

sind die Zustände auf genau die positiven Borelmaße mit Totalvariationsnorm . Diese Überlegungen können auf beliebige Algebren von C0-Funktionen verallgemeinert werden.

Lokalkompakte Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die Gruppenalgebra einer lokalkompakten Gruppe, das ist die Faltungsalgebra der bezüglich des Links-Haarmaßes integrierbaren Funktionen. Der Dualraum ist bekanntlich , das heißt der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Eine -Funktion operiert auf durch die Definition

,

wobei das Haarsche Maß ist. ist genau dann ein Zustand auf , wenn

Dabei heißt eine Funktion positiv-definit, falls die Matrix für jede endliche Anzahl von Elementen positiv definit ist.[2]

Bedeutung, GNS-Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Hilbertraum-Darstellung einer involutiven Banachalgebra ist ein *-Homomorphismus in die Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum . Der Einfachheit halber nehmen wir an, habe ein Einselement und es sei . (Hat kein Einselement, so kann man nötigenfalls eines adjungieren oder Algebren mit einer Approximation der Eins betrachten.) Ist nun ein Vektorzustand auf und , so ist ein Zustand auf , denn

.

Die wesentliche Bedeutung der Zustände resultiert aus der Tatsache, dass man diese Überlegung umkehren kann, das heißt, man kann von einem Zustand zu einer Hilbertraum-Darstellung und einem Vektor kommen, sodass

für alle .[3][4]

Zur Konstruktion, die man nach Gelfand, Neumark und Segal auch GNS-Konstruktion nennt, bildet man zum Zustand zunächst das Linksideal

.

Auf dem Faktorraum wird durch die Formel

ein Skalarprodukt definiert, das zu einem Prähilbertraum macht, dessen Vervollständigung ein Hilbertraum ist. Mittels der Linksidealeigenschaft von kann man zeigen, dass jedes eine stetige, lineare Abbildung definiert, die sich eindeutig zu einer stetigen, linearen Abbildung fortsetzt. Die dadurch definierte Abbildung ist eine Hilbertraum-Darstellung und mit der Definition

folgt die gewünschte Beziehung, denn für ist .

Jeder Zustand kann also mittels einer Hilbertraum-Darstellung als Vektorzustand geschrieben werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

C*-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für C*-Algebren mit Einselement kann man Zustände ohne Bezugnahme auf die Involution definieren. Für den Zustandsraum gilt

,

die Eigenschaft folgt automatisch.[5] Es gilt sogar allgemeiner für C*-Algebren ohne Einselement:

Ist ein stetiges, lineares Funktional und gilt für irgendeine 1-beschränkte Approximation der Eins von , so ist ein Zustand.[6]

Konvexe Hülle des Spektrums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Zustandsraum einer C*-Algebra mit Einselement konvex und schwach-*-kompakt ist, und da für jedes die Abbildung linear und schwach-*-stetig ist, ist auch

konvex und kompakt. Man kann zeigen, dass das Spektrum von stets in dieser Menge enthalten ist[7], das heißt, es gilt

,

wobei für die konvexe Hülle einer Menge steht. Für normale Elemente gilt Gleichheit[8], im Allgemeinen ist die Inklusion aber echt, wie das Beispiel zeigt. Das Spektrum dieses nilpotenten Elements ist , stimmt also mit der eigenen konvexen Hülle überein, aber für den Einheitsvektor ist nicht in der konvexen Hülle des Spektrums enthalten.

Besondere Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Normale Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Normaler Zustand

Auf von-Neumann-Algebren hat man neben der Normtopologie weitere Operatortopologien und es ist daher von Interesse, welche Zustände bzgl. dieser Topologien stetig sind. Die ultraschwach-stetigen Zustände heißen normal, es sind genau diejenigen, die sich als abzählbare Summe von Vielfachen von Vektorzuständen schreiben lassen. Sie können auf verschiedene Weisen charakterisiert werden und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der von-Neumann-Algebren, insbesondere auch deshalb, weil die GNS-Konstruktion zu einem Homomorphismus zwischen von-Neumann-Algebren führt.

Treue Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Zustand heißt treu, wenn aus schon folgt. In diesem Fall ist das Linksideal aus der GNS-Konstruktion gleich dem Nullideal und die Konstruktion vereinfacht sich erheblich, die konstruierte Darstellung ist treu, das heißt injektiv. Auf separablen C*-Algebren gibt es stets treue Zustände.[9] Die Existenz treuer, normaler Zustände charakterisiert die σ-endlichen von-Neumann-Algebren.

Reine Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Quasizustandsraum ist konvex und schwach-*-kompakt, besitzt also nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Die von 0 verschiedenen Extremalpunkte des Quasizustandsraums sind Zustände und heißen reine Zustände, da sie nicht Mischungen, das heißt Konvexkombinationen, anderer Zustände sein können.

Im Falle kommutativer C*-Algebren sind die reinen Zustände genau die *-Homomorphismen .[10] Im Falle nicht-kommutativer C*-Algebren sind die reinen Zustände genau diejenigen, deren GNS-Konstruktion zu irreduziblen Darstellungen führen. [11][12]

Banachalgebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Charakterisierung der Zustände auf einer C*-Algebra mit Einselement als solche stetigen, linearen Funktionale, für die gilt, lässt sich auf beliebige Banachalgebren mit Einselement übertragen. Man definiert[13]

,
für ein

heißt Zustandsraum, numerischer Wertebereich. Wie schon im oben beschriebenen Fall der C*-Algebren ist eine konvexe, kompakte Teilmenge der komplexen Ebene, die das Spektrum von umfasst. Diese Begriffsbildung hat viele Anwendungen in der Theorie der Banachalgebren[14], sie führt insbesondere zu Charakterisierungen der C*-Algebren unter allen Banachalgebren (Satz von Vidav-Palmer).

Geordnete Vektorräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein geordneter Vektorraum mit einer Ordnungseinheit , so nennt man ein lineares Funktional einen Zustand, falls und für alle . Der Zustandsraum, das heißt die Menge aller Zustände, ist konvex, die Extremalpunkte dieser Menge heißen reine Zustände. Ein Zustand ist genau dann rein, wenn für jedes lineare Funktional mit für alle schon folgt, dass .[15]

Nimmt man als den Raum der selbstadjungierten Elemente einer C*-Algebra mit Einselement , so fungiert auch als Ordnungseinheit. Man befindet sich damit in der oben beschriebenen Situation der Zustände auf C*-Algebren.

Geordnete Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des Zustands kann sogar auf geordnete abelsche Gruppen verallgemeinert werden. Ist eine solche Gruppe mit positiver Halbgruppe und ist darin eine Skala ausgezeichnet, so heißt eine Abbildung ein Zustand, falls [16][17]

  • ist ein Gruppenhomomorphismus in die additive gruppe der reellen Zahlen,
  • ,
  • .

Der für die C*-Algebrentheorie wichtige Anwendungsfall ist die K0-Gruppe einer C*-Algebra, insbesondere von AF-C*-Algebren. Zustände der K0-Gruppe gehören zu Spuren auf den AF-C*-Algebren.[18]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. J. Dixmier: C*-algebras and their representations, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0762-1, Definition 2.1.1
  2. J. Dixmier: C*-algebras and their representations, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0762-1, Theorem 13.4.5
  3. J. Dixmier: C*-algebras and their representations. North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0762-1, Satz 2.4.4.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 3.3 The Gelfand-Naimark-Segal construction.
  5. J. Dixmier: C*-algebras and their representations, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0762-1, Satz 2.1.9
  6. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Lemma I.9.9
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Satz 4.3.3
  8. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §38, Lemma 3, Lemma 4
  9. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 3.7.2 – 3.7.4
  10. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Theorem 3.4.7
  11. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 3.13 Pure states and irreducible representations
  12. J. Dixmier: C*-algebras and their representations, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0762-1, Kapitel 2.5: Pure forms and irreducible representations
  13. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §10, Definition 1
  14. F. F. Bonsall, J. Duncan: Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press (1971), ISBN 0-521-07988-8
  15. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Definition 3.4.5 + Lemma 3.4.6
  16. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Kapitel IV.5, Seite 114
  17. B. Blackadar: K-Theory for Operator-Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 6.8.1
  18. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Theorem IV.5.3