Richardson-Verfahren

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Richardson-Verfahren ist in der numerischen Mathematik ein iterativer Algorithmus zur näherungsweisen Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es zählt wie das Gauß-Seidel-Verfahren zur Klasse der Splitting-Verfahren.

Richardson-Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Lösung des linearen Gleichungssystems wird der Teil des Systems, der durch Abspaltung der Einheitsmatrix von der Systemmatrix entsteht (Splitting-Verfahren mit ) auf der linken Seite belassen, alles andere auf die rechte Seite verschoben, so dass eine Fixpunktgleichung

   mit   

entsteht, deren Lösung auf die Iteration

führt. Dieses Verfahren konvergiert wie jede Fixpunktiteration dieser Art, falls der Spektralradius der Iterationsmatrix echt kleiner eins ist.

Relaxiertes Richardsonverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Iterationsformel des relaxierten Richardson-Verfahrens lautet

.

Dabei wird in jedem Schritt das Residuum mit einem Faktor gewichtet. Falls eine symmetrisch positiv definite Matrix ist, so gilt für den optimalen Relaxionsparameter

.

Dabei bezeichnen und den maximalen und minimalen Eigenwert von . Für den Spektralradius der Iterationsmatrix gilt

,

wobei die spektrale Kondition der Matrix bezeichnet. Das relaxierte Richardson-Verfahren konvergiert dann genauso „schnell“ wie das Gradientenverfahren bei symmetrischen Matrizen, wofür man jedoch keinen Relaxionsparameter berechnen muss. Dafür kann man mit dem Richardsonverfahren auch bei unsymmetrischen Matrizen mit komplexen Eigenwerten noch Konvergenz erzwingen, solange deren Realteile alle positiv sind.

Das Verfahren ist als Glätter in Mehrgitterverfahren geeignet.

Zyklisches Richardsonverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konvergenz lässt sich erheblich verbessern, wenn man mehrere Schritte der Iteration mit unterschiedlichen Parametern betrachtet. Man führt dazu jeweils Schritte

zyklisch durch. Das Verfahren konvergiert, wenn der Spektralradius des Matrixpolynoms

kleiner als eins ist, und umso besser je kleiner er ist. Für eine Matrix mit reellen und positiven Eigenwerten kann der Spektralradius durch das Maximum des reellen Polynoms im Intervall abgeschätzt werden. Besonders klein wird dieses Maximum, wenn man die Relaxationsparameter so wählt, dass ihre Kehrwerte gerade die Nullstellen des geeignet verschobenen Tschebyschow-Polynoms sind,

Dann verbessert sich die Konvergenzaussage für symmetrische Matrizen und einen Zyklus der Länge zu

Für realistische Probleme mit stellt dies eine große Verbesserung gegenüber dem einfachen relaxierten Verfahren dar, da nur noch die Wurzel der Konditionszahl eingeht.

Für symmetrisch-definite Matrizen bietet dieses Verfahren kaum Vorteile gegenüber dem Verfahren der konjugierten Gradienten, da es die Schätzung der Eigenwerte erfordert. Im unsymmetrischen Fall können aber die Parameter auch für komplexe Eigenwerte gut angepasst werden, vgl. Literatur. In den meisten Fällen ist aber die Tschebyschow-Iteration vorzuziehen, da sie die gleiche Fehlerschranke für jeden Iterationsschritt und nicht nur für Vielfache der Zykluslänge erreicht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. 2. Auflage. Vieweg 2005, ISBN 3-528-13135-7
  • Bernd Fischer, Lothar Reichel: A stable Richardson iteration method for complex linear systems. In: Numer. Math. 54. 1988, 225–242.