Satz von Hellinger-Toeplitz

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Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Hilbertraum und ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle die Gleichung

erfüllt. Dann ist stetig.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist eine Nullfolge und konvergent, dann ist .
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf und setze , dann folgt

also .

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Da der Operator linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
  • Jeder symmetrische, überall auf definierte Operator ist selbstadjungiert.
  • Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien und Hilberträume und ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator , der für alle und die Gleichung

erfüllt. Dann sind und stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)