Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.
Für eine Familie
von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit
,
![{\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}=\vert \bigcup _{i\in I}M_{i}\vert ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b190e1984dc8ed060eff13b1b1687d06d9b879e8)
und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,
![{\displaystyle \prod _{i\in I}\kappa _{i}=|\prod _{i\in I}M_{i}|=\vert \{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}M_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in M_{i}\}\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b295688f8d2add02ee90b54baa06db07bd8de7d4)
Hierbei sind die
paarweise disjunkte Mengen mit
, zum Beispiel
.
Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.
Der Satz von König besagt nun:
Für zwei Kardinalzahlfolgen
und
mit
für alle
gilt:
.
Seien
,
zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit
. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass
.
Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung
![{\displaystyle \Phi \colon \bigcup _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}=\{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}Y_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in Y_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7013933c7ccb3360aeddd019f0f31214ea825a7)
Für jedes
sei
ein Element aus
. Sei
. Dann gibt es ein eindeutiges
mit
. Sei
die Funktion mit
.
Dann ist
injektiv.
Sei nun eine beliebige solche Abbildung
gegeben. Für
definiere
als ein Element aus
. Dann ist
an der Stelle
verschieden von allen Bildern von
aus
. Da dies für alle
gilt, ist
nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.
Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (
und
seien Kardinalzahlen):
- Bezeichnet
die Konfinalität von
, so gilt für
unendlich
.
- für
und
unendlich
.
- Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
- König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177–180.