Satz von König (Mengenlehre)

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Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.

Für eine Familie von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit ,

und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,

Hierbei sind die paarweise disjunkte Mengen mit , zum Beispiel . Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz von König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen und mit für alle gilt:

.

Seien , zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass . Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

Für jedes sei ein Element aus . Sei . Dann gibt es ein eindeutiges mit . Sei die Funktion mit

.

Dann ist injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung gegeben. Für definiere als ein Element aus . Dann ist an der Stelle verschieden von allen Bildern von aus . Da dies für alle gilt, ist nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten ( und seien Kardinalzahlen):

  • Bezeichnet die Konfinalität von , so gilt für unendlich .
  • für und unendlich .
  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177–180.