Satz von Pascal

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Satz von Pascal
Satz von Pascal: Kanten-Graph
Satz von Pascal: Indizes 2 und 5 vertauscht
Satz von Pascal: affine Form
Satz v.Pascal: Ausartungen

Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage in projektiven Ebenen und besagt:

Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte

auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild).

Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).

Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.)

Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt).

Bemerkungen:

  • Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
  • Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur unten und weblink planar circlegeometries, S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
  • Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch eine affine Form des Satzes:
Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer affinen Ebene, für die sowohl das
Geradenpaar als auch das Geradenpaar parallel sind,
sind auch und parallel (s. Bild). (Die affine Form gibt es z.B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene.)
  • Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt.[1]
  • Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
  • Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert:
Angenommen, ein Polygon mit Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in Punkten schneiden. Liegen dann dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.

Beweis des Satzes von Pascal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zum Beweis des Satzes von Pascal

Im reellen Fall kann man den Beweis am Einheitskreis führen. Da ein nichtausgearteter Kegelschnitt über einem beliebigen Körper aber nicht immer als Einheitskreis darstellbar ist, wird hier die immer mögliche Darstellung des Kegelschnitts als Hyperbel benutzt[2].

Für den Beweis koordinatisiert man die projektive Ebene inhomogen so, dass ist, d. h. die Ferngerade ist (s. Bild). Ferner sei ein Punkt der x-Achse, ein Punkt der y-Achse. Dann gilt und (s. Bild). Die Steigung der Gerade sei . Der Satz ist bewiesen, wenn bewiesen worden ist.

Man rechnet leicht nach, dass ist. Mit (siehe Bild) erhält man

(1).

Der Kegelschnitt wird in dem inhomogenen Koordinatensystem als Hyperbel mit einer Gleichung

beschrieben (Die Asymptoten sind parallel zu den Koordinatenachsen !).
Für solch eine Hyperbel gilt der Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln. Wendet man den Peripheriewinkelsatz auf die Grundpunkte und die Hyperbelpunkte an, so erhält man die Gleichung
(2).

Aus (1) und (2) ergibt sich schließlich , was zu beweisen war.

Bedeutung des Satzes von Pascal und seiner Ausartungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Satz von Pascal eine Aussage über Kegelschnitte ist und Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen erklärt sind, führt man den Begriff des Ovals in einer beliebigen projektiven Ebene ein, um die Pascal-Eigenschaft in einer beliebigen projektiven Ebene formulieren zu können. Dies ist z.B. bei dem Satz von Pappus nicht nötig, da dieser ein Satz über Geraden und Punkte ist, die es in jeder projektiven Ebene gibt. Ein Oval ist eine Punktmenge (Kurve) einer projektiven Ebene mit den wesentlichen Inzidenzeigenschaften eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.

Definition eines Ovals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Oval (Projektive Geometrie)
  • Eine Menge von Punkten in einer projektiven Ebene heißt Oval, wenn
(1) Eine beliebige Gerade trifft in höchstens 2 Punkten.
Falls ist, heißt Passante, falls ist, heißt Tangente und falls ist, heißt Sekante.
(2) Zu jedem Punkt gibt es genau eine Tangente , d.h. .

Pascal-Eigenschaft eines Ovals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Oval in einer beliebigen projektiven Ebene, das die im Satz von Pascal für Kegelschnitte angegebene Eigenschaft für beliebige 6 Punkte besitzt, nennt mann 6-Punkte-pascalsch oder kurz pascalsch. Entsprechend definiert man 5-Punkte-pascalsch, 4-Punkte-pascalsch und 3-Punkte-pascalsch, falls die Aussage der 5-, 4- oder 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal für das Oval erfüllt ist (s. Bild).

Bedeutungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gültigkeit der Pascal-Eigenschaft oder der 5-Punkte-Ausartung für ein Oval in einer projektiven Ebene hat dieselbe Bedeutung wie die Pappus-Eigenschaft (für ein Geradenpaar):

Satz von Buekenhout[3]

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Satz von Hofmann[4],

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Mit Hilfe der 4-Punkte-Ausartung und der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal lassen sich in pappusschen Ebenen Kegelschnitte charakterisieren:

Satz[5].
(a): Ist eine pappussche projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.
(b): Ist eine pappussche projektive Ebene der Charakteristik und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.

Bemerkung: Wie weit man in den beiden letzten Fällen die Voraussetzung pappussch abschwächen kann, ist noch ungeklärt. Die Voraussetzung in Aussage (a) lässt sich mindestens auf moufangsch abschwächen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart, 1983
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S.199
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S.60
  • Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5, S. 114

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2.Teil, S. 128.
  2. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 29
  3. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens, Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, S. 89–93.
  4. C.E. Hofmann: Specelizations of Pascal's Theorem on an Oval, Journ. o. Geom., Vol. 1/2 (1971), S. 143–153.
  5. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 32,33