Schmidt-Zerlegung

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In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und Hilberträume der Dimension beziehungsweise und sei . Dann gibt es für jeden Vektor Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren und , so dass

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen durch eindeutig bestimmt sind.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen und . Der Elementartensor kann mit der Matrix (hier bezeichnet die Transposition von ) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor lässt sich in der Basis schreiben als

und kann dann mit der Matrix

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen auf und auf und eine positiv-semidefinite Diagonalmatrix so dass

Schreibt man , wobei eine -Matrix ist, dann erhält man

Bezeichnet man nun die ersten Spaltenvektoren von mit und mit die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix mit dann folgt

,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schmidt-Zerlegung findet z.B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

Die Matrix ( bezeichnet den zu adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf . Die partielle Spur von bezüglich entweder dem Teilsystem oder ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren und gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt (wie jeder eindimensionale Projektor auf ) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und bzw. beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw. 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands .[1]

Schmidt-Rang und Verschränkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen Vektor werden die strikt positiven Werte in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von .

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  • der Schmidt-Rang von ist größer als eins
  • lässt sich nicht als Produktvektor schreiben
  • ist verschränkt
  • die reduzierten Zustände von sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen [1]. Auch das Verhalten von unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433-476 (1907).
  • Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
  • Artur Ekert und Peter L. Knight: Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition. In: American Journal of Physics. 63, Nr. 5, Mai 1995, S. 415. doi:10.1119/1.17904.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Guifre Vidal: Entanglement Monotones. In: J. Mod. Opt.. 47, 2000, S. 355. arxiv:quant-ph/9807077. doi:10.1080/09500340008244048.
  2. M. A. Nielsen: Conditions for a Class of Entanglement Transformations. In: Phys. Rev. Lett.. 83, 1999, S. 436. arxiv:quant-ph/9811053. doi:10.1103/PhysRevLett.83.436.