Schulze-Methode

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Die Schulze-Methode (nach Markus Schulze) ist ein Wahlverfahren aus der Familie der Vorzugswahlen, mit dem ein einzelner Sieger bestimmt wird. Es ist die derzeit verbreitetste Methode, um Wahlen durchzuführen, bei welchen der Wähler Kandidaten nach Rang ordnet.

Die Schulze-Methode ist eine Condorcet-Methode, d. h., dass sie einen Kandidaten, der im paarweisen Vergleich jeden anderen Kandidaten besiegen würde, als Sieger auswählt, sofern ein solcher existiert.

Markus Schulze hat die Methode 1997 entwickelt. Die ersten Veröffentlichungen datieren von 2003 und 2006.[1][2][3] Verwendet wurde die Schulze-Methode erstmals 2003 (von Software in the Public Interest), 2003 (von Debian) und 2005 (von Gentoo Linux).

Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Wähler erhält eine komplette Liste aller Kandidaten. Er reiht die Kandidaten, indem er ihnen Zahlen zuordnet. Eine kleine Zahl ist besser als eine größere, jedoch zählt nur die Reihenfolge. Kandidaten mit gleicher Zahl sind an gleicher Stelle gereiht. Kandidaten ohne Zahl sind gemeinsam an letzter Stelle – so als ob der Wähler ihnen jeweils die größtmögliche Zahl zugeschrieben hätte.

Anzahl der Wähler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Anzahl der Wähler, die den Kandidaten dem Kandidaten vorziehen (d. h. die bei eine kleinere Zahl als bei vermerkt haben), wird durch ausgedrückt.

Der Wert von wird aus den Stimmabgaben gezählt

  • ist die Zahl der Wähler, die Kandidaten besser als finden.
  • ist die Zahl der Wähler, die Kandidaten besser als finden.

Für diese Werte ist es unerheblich, ob noch andere Kandidaten existieren und ob diese besser oder schlechter als und oder zwischen beiden eingestuft werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schulze-Methode ist folgendermaßen definiert:

Ein Weg (englisch path) vom Kandidaten zum Kandidaten der Stärke ist eine Sequenz von Kandidaten mit den folgenden Eigenschaften:
  1. , d. h. der Weg beginnt bei .
  2. , d. h. der Weg endet bei .
  3. , d. h. jeder Kandidat auf dem Weg gewinnt den paarweisen Vergleich gegen den auf ihn folgenden Kandidaten.
  4. , d. h. jeder Kandidat auf dem Weg wird gegenüber dem auf ihn folgenden Kandidaten von mindestens Wählern bevorzugt.
  5. , d. h. wenigstens einer dieser Vergleiche wird von (nur) genau Wählern gestützt.
Hat ein Weg die Stärke , so werden die Bögen dieses Weges, für die gilt, kritische Siege genannt. Bei ihnen handelt es sich um die schwächsten Siege auf dem Weg.
Es bezeichnet , die Stärke des stärksten Weges vom Kandidaten zum Kandidaten , ist der größte Wert, so dass es einen Weg dieser Stärke vom Kandidaten zum Kandidaten gibt. Falls es überhaupt keinen Weg von nach gibt, wird gesetzt.
Kandidat ist besser als Kandidat genau dann, wenn ist.
Kandidat ist ein potentieller Sieger genau dann, wenn ist für jeden anderen Kandidaten .

Es lässt sich zeigen, dass die besser-Relation transitiv ist. Es existiert somit stets mindestens ein potentieller Sieger.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1
2
3
4
5

Paarweise Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tabelle, die jeden Kandidaten mit jedem anderen vergleicht. Die rot markierten Felder werden weiter benutzt. Z. B. wurde Kandidat  von  Stimmen gegenüber bevorzugt.

20 26 30 22
25 16 33 18
19 29 17 24
15 12 28 14
23 27 21 31

Paarweiser Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph mit gewichteten Pfeilen aus der Tabelle von oben. Man sieht den Pfeil von Kandidat zu Kandidat mit dem Gewicht von aus der obigen Tabelle.

Paarweiser Graph

Die stärksten Wege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von den Verbindungen zwischen Kandidaten wird diejenige gesucht, bei der das schwächste Glied am stärksten ist. Bildlich gesprochen wird die stärkste Kette gesucht. Wie kommt man von nach ?

  • Bei über nach ist das schwächste Glied von nach mit .
  • Bei über und nach ist das schwächste Glied nach mit . Diese Kette ist stärker und wird nachfolgend verwendet.

Man kann sich den Vorgang beispielsweise aus Sicht eines Transportunternehmens vorstellen, das möglichst viele Pakete auf einmal von einer Stadt in die andere transportieren möchte (egal wie lang der Weg ist). Ohne Zwischenlager kann natürlich nur so viel transportiert werden wie das Fassungsvermögen des kleinsten Transportmittels, das am Weg verwendet wird: Wenn die Pakete zuerst per Fähre, dann per Lastwagen und zuletzt per Güterzug transportiert werden, dann ist wahrscheinlich der Lastwagen am kleinsten. Im Vergleich zu einer anderen Route (die z. B. einen Pickup-Truck enthält) ist der Lastwagen damit das schwächste Glied der stärksten Kette.

Oft wird dieses schwächste Glied der stärksten Kette auch kritischer Sieg genannt. Die kritischen Siege der stärksten Wege sind unterstrichen.

… nach … nach … nach … nach … nach
von
A–(30)–D–(28)–C–(29)–B

A–(30)–D–(28)–C

A–(30)–D

A–(30)–D–(28)–C–(24)–E

von
B–(25)–A

B–(33)–D–(28)–C

B-(33)-D

B-(33)-D-(28)-C-(24)-E

von
C-(29)-B-(25)-A

C-(29)-B

C-(29)-B-(33)-D

C-(24)-E

von
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A

D-(28)-C-(29)-B

D-(28)-C

D-(28)-C-(24)-E

von
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A

E-(31)-D-(28)-C-(29)-B

E-(31)-D-(28)-C

E-(31)-D

Die Stärken der stärksten Wege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das schwächste Glied der stärksten Verbindung, wie oben gefunden, wird in eine Tabelle eingetragen. Dann wird wieder paarweise verglichen, wer wen schlägt, in der Tabelle unten wieder rot markiert.

28 28 30 24
25 28 33 24
25 29 29 24
25 28 28 24
25 28 28 31

Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sieger nach der Schulze-Methode ist Kandidat , da ist für jeden anderen Kandidaten .

  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .
  • Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .

Das Schulze-Ranking ist somit .

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1
2
3
4

Paarweise Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

5 5 3
4 7 5
4 2 5
6 4 4

Paarweiser Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schulze method example4.svg

Die stärksten Wege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kritischen Siege der stärksten Wege sind unterstrichen.

… nach … nach … nach … nach
von
Schulze method example4 AB.svg

Schulze method example4 AC.svg

Schulze method example4 AD.svg

von
Schulze method example4 BA.svg

Schulze method example4 BC.svg

Schulze method example4 BD.svg

von
Schulze method example4 CA.svg

Schulze method example4 CB.svg

Schulze method example4 CD.svg

von
Schulze method example4 DA.svg

Schulze method example4 DB.svg

Schulze method example4 DC.svg

Die Stärken der stärksten Wege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das schwächste Glied der stärksten Verbindung wie oben gefunden, wird in eine Tabelle eingetragen. Dann wird wieder paarweise verglichen, wer wen schlägt, in der Tabelle unten wieder rot markiert. Violett markiert ist jeder Gleichstand.

5 5 5
5 7 5
5 5 5
6 5 5

Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potentielle Sieger nach der Schulze-Methode sind somit Kandidat und Kandidat , da

ist für jeden anderen Kandidaten und
ist für jeden anderen Kandidaten .

Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .

Wegen ist Kandidat besser als Kandidat .

Mögliche Schulze-Rankings sind somit

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • und
  • .

Implementierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei C die Anzahl der Kandidaten. Dann lassen sich die Stärken der stärksten Wege mit Hilfe des Algorithmus von Floyd und Warshall berechnen.

Input: d[i,j] ist die Anzahl der Wähler, die den Kandidaten i dem Kandidaten j strikt vorziehen.

Output: p[i,j] ist die Stärke des stärksten Weges vom Kandidaten i zum Kandidaten j.

Beispiel einer Implementierung in Pascal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

for i := 1 to C do
begin
   for j := 1 to C do
   begin
      if ( i <> j ) then
      begin
         if ( d[i,j] > d[j,i] ) then
         begin
            p[i,j] := d[i,j]
         end
         else
         begin
            p[i,j] := 0
         end
      end
   end
end

for i := 1 to C do
begin
   for j := 1 to C do
   begin
      if ( i <> j ) then
      begin
         for k := 1 to C do
         begin
            if ( i <> k ) then
            begin
               if ( j <> k ) then
               begin
                  p[j,k] := max ( p[j,k], min ( p[j,i], p[i,k] ) )
               end
            end
         end
      end
   end
end

Heuristiken und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezielle Heuristiken der Schulze-Methode sind auch bekannt unter den Namen Beatpath, Beatpaths, Beatpath Method, Beatpath Winner, Path Voting, Path Winner, Schwartz Sequential Dropping (SSD) und Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD).

Die Schulze-Methode erfüllt die folgenden Kriterien[4][5] (Zur Erläuterung der wichtigsten Kriterien siehe Abschnitt Qualitätskriterien im Artikel Sozialwahltheorie):

  1. Majority criterion
  2. Mutual majority criterion
  3. Monotonicity criterion (auch bezeichnet als non-negative responsiveness, mono-raise)
  4. Pareto criterion
  5. Condorcet-Kriterium
  6. Condorcet-Verlierer-Kriterium
  7. Smith criterion (auch bezeichnet als Generalized Condorcet criterion)
  8. Local independence from irrelevant alternatives
  9. Schwartz-Kriterium
  10. Strategy-Free criterion
  11. Generalized Strategy-Free criterion
  12. Strong Defensive Strategy criterion
  13. Weak Defensive Strategy criterion
  14. Summability criterion
  15. Independence of clones
  16. nicht-diktatorisch
  17. Universalität
  18. Woodall’s plurality criterion
  19. Woodall’s CDTT criterion
  20. Minimal Defense criterion
  21. Resolvability
  22. Reversal symmetry
  23. mono-append
  24. mono-add-plump

Die Schulze-Methode verletzt

  1. das Konsistenzkriterium,
  2. das Partizipationskriterium,
  3. die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
  4. sowie das Favorite-betrayal-Kriterium.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Muster für die elektronischen Stimmzettel für die Wahlen zum Kuratorium der Wikimedia Foundation

Die Schulze-Methode wird derzeit nicht in staatlichen Wahlen angewandt. Sie findet jedoch mehr und mehr Anwendung in Privatorganisationen. Sie ist u. a. in folgenden Organisationen benutzt worden:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Schulze method – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Condorcet sub-cycle rule, Election Methods Mailing Liste, 3. Oktober 1997
  2. Markus Schulze: A new monotonic and clone-independent single-winner election method. (PDF; 75 kB) In: Voting Matters, issue 17, 2003, S. 9–19
  3. Nicolaus Tideman: Collective Decisions and Voting: The Potential for Public Choice. Ashgate Publishing, 2006. Saul Stahl, Paul E. Johnson: Understanding Modern Mathematics. Jones & Bartlett Publishing, 2006
  4. Markus Schulze: A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, and Condorcet-consistent single-winner election method. (PDF; 577 kB) Juli 2007 (englisch)
  5. D. R. Woodall: Properties of Preferential Election Rules. Dezember 1994 (englisch)
  6. Board election to use preference voting, Mai 2008
  7. Presseerklärung der Piratenpartei Deutschland (Memento des Originals vom 29. Mai 2011 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/bremen.piratenpartei.de, August 2010
  8. Probewahl der schwedischen Piraten, Januar 2010
  9. wiki.piratenpartei.at
  10. Verfassung für das Debian-Projekt, Anhang A6
  11. Ubuntu IRC Council Position, Mai 2012
  12. Process for adding new board members, Januar 2003
  13. Council Election Procedures (Memento vom 16. Juli 2011 im Internet Archive)
  14. § 6 Absatz 3 der Satzung (PDF; 112 kB)
  15. Artikel 3.4.1 der Rules of Procedures for Online Voting
  16. Kingman adopts Condorcet voting, April 2005
  17. GnuPG Logo Vote, November 2006 (Memento des Originals vom 16. Dezember 2006 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/logo-contest.gnupg.org
  18. Golden Geek Awards
  19. Geschäftsordnung des Studierendenrats der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. (PDF FDP, 53 kB) In: u-asta.uni-freiburg.de. 13. Mai 2014, abgerufen am 24. Juni 2014.
  20. Satzung des BVKJ