Semimartingal

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Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum mit zugehöriger Filtration .

Wir nehmen an, dass die Filtration

  • vollständig ist, das heißt alle -Nullmengen sind -messbar.
  • ist rechtsstetig, das heißt für alle .

Das Semimartingal besitzt durch den Satz von Bichteler-Dellacherie zwei äquivalente Definitionen.

Definition 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Prozess heißt einfach-vorhersehbar, falls von der Form

für eine endliche Folge von Stoppzeiten ist und für alle fast sicher sowie .

Der Raum der einfach-vorherbaren Prozesse zusammen mit der durch die gleichmässigen Konvergenz in induzierten Topologie bezeichnen wir als .

Für einen Prozess und für einen einfach-vorhersehbaren Prozess definieren wir die lineare Abbildung durch

Ein stochastischer Prozess heißt Semimartingal, falls für jedes der gestoppte Prozess càdlàg und adaptiert ist und die Abbildung stetig ist.[1]

Definition 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess mit Werten in mit:

  • ist an adaptiert,
  • die Pfade/Trajektorien von sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
  • es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:

    wobei fast sicher endlich und -messbar, ein lokales Martingal und ein FV-Prozess ist, das heißt ein Prozess mit endlicher Variation auf jedem kompakten Interval in .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stochastische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form

sinnvoll definiert werden kann. stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.

Stabilität unter Transformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem „Wechsel der Zeit“ oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Martingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.

Sprungprozesse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

Ito-Prozesse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als

wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jean Jacod, Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. 2. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43932-3.
  • Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 51–52.