Poisson-Prozess

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Pfade von zwei Poissonprozessen mit konstanter Intensität: einmal 2,4 (blau) und 0,6 (rot). Der blaue Prozess hat eine viermal höhere Intensität und weist auch mit 30 Sprüngen im gezeichneten Zeitintervall [0; 14,9] weit mehr auf als der rote (nur 8). Dies sind fast genau viermal so viele Sprünge, was auch zu erwarten war.
Pfade von zwei kompensierten zusammengesetzten Poisson-Prozessen. Wie oben ist die Intensität (Sprunghäufigkeit) des blauen Prozesses mit 2,4 genau viermal so hoch wie die des roten Prozesses. Im gezeichneten Intervall [0; 35] springt der blaue Prozess 66-mal (erwartet wären 35·2,4=84), der rote 16-mal, also circa viermal so oft. Bei beiden Prozessen sind die Sprünge normalverteilt mit Mittel 0,25. Diese Sprünge nach oben werden durch den negativen Drift genau so ausgeglichen (kompensiert), dass beide Prozesse Martingale sind. Da der blaue Prozess öfter nach oben springt, ist sein negativer Drift stärker.

Ein Poisson-Prozess ist ein nach Siméon Denis Poisson benannter stochastischer Prozess. Er ist ein Erneuerungsprozess, dessen Zuwächse poissonverteilt sind.

Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit oft im Versicherungswesen zum Beispiel Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze usw. modelliert.

Parameter[Bearbeiten]

Die Verteilung der Zuwächse hat einen Parameter λ, dieser wird als Intensität des Prozesses bezeichnet, da pro Zeiteinheit genau λ Sprünge erwartet werden (Erwartungswert der Poissonverteilung ist ebenfalls λ). Die Höhe jedes Sprunges ist eins, die Zeiten zwischen den Sprüngen sind exponentialverteilt. Der Poisson-Prozess ist also ein diskreter Prozess in stetiger (d.h. kontinuierlicher) Zeit.

Definition[Bearbeiten]

Ein stochastischer Prozess mit càdlàg-Pfaden über einem Wahrscheinlichkeitsraum [\Omega;\mathfrak{A};\mathbb{P}] heißt (homogener) Poisson-Prozess P_{\lambda,t}\, mit Intensität \lambda\, und t \in [0;\infty), falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

Für die Definition des inhomogenen Poisson-Prozesses siehe Poisson-Prozess#Inhomogener Poisson-Prozess.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ein Poisson-Prozess ist offenbar ein stochastischer Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.
  • Ein homogener Poisson-Prozess ist ein Markow-Prozess in stetiger Zeit mit diskretem Zustandsraum. Die Q-Matrix ist  p_{ij}=\lambda \mathbf{1}_{\{j=i+1\}} - \lambda \mathbf{1}_{\{j=i\}} .
  • Der Zeitraum zwischen zwei Zuwächsen, also \min \left\{ t \in [0; \infty) \mid P_{\lambda,t}=n+1 \right\} - \min \left\{ s \in [0; \infty) \mid P_{\lambda,s}=n \right\}\;\; n \ge 0 ist exponentialverteilt mit dem Parameter \lambda.
  • Demnach ist die Wartezeit bis zum n-ten Sprung gammaverteilt mit Parametern  n und  \lambda .
  • Ist P_{\lambda,t}\, ein Poisson-Prozess, so ist \hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t+s}-P_{\lambda,s} \;\;  \forall 0<s<t wieder ein Poisson-Prozess, d. h. die Zuwächse homogener Poisson-Prozesse stationär. Ein homogener Poisson-Prozess ist also ein spezieller Lévy-Prozess.
  • Für den Erwartungswert und Varianz gilt \operatorname{E}(P_{\lambda,t}) = \operatorname{Var}(P_{\lambda,t}) = \lambda \cdot t.
  • Für die quadratische Variation gilt  [P_{\lambda}]_t= P_{\lambda,t}, da der stetige Martingalanteil P_{\lambda}^c verschwindet und alle Sprünge die Höhe 1 haben.
  • Da der Pfad des Prozesses monoton steigt, ist P_{\lambda,t}\, ein Submartingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
  • Falls man einen stochastischen Prozess hat, der die drei definierenden Eigenschaften erfüllt, so existiert eine Version des Prozesses mit càdlàg-Pfaden, also ein Poisson-Prozess.
  • M_{\lambda,t}:=P_{\lambda,t}-\operatorname{E}(P_{\lambda,t})=P_{\lambda,t}-\lambda \cdot t heißt kompensierter Poissonprozess und ist ein Martingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
  • Ein Poisson-Prozess ist gedächtnislos (Es gilt also P(T>t+s|T>t)=P(T>s)\,, d.h. die Restwartezeit auf den nächsten Sprung ist unabhängig von der bisherigen Wartezeit. Dies ergibt sich aus der Exponentialverteilung). Daraus folgt, dass auch hier das Wartezeitparadoxon gilt.
  • Unter relativ allgemeinen Annahmen konvergiert die Überlagerung von allgemeinen Erneuerungsprozessen asymptotisch gegen einen Poisson-Prozess (Satz von Palm-Chintschin).

Alternative Definition[Bearbeiten]

In der obigen Definition wird die Poisson-Verteilung vorausgesetzt, sie lässt sich aber auch aus grundlegenden Eigenschaften eines stochastischen Prozesses (Poissonsche Annahmen) ableiten. Wenn diese Eigenschaften einem Geschehen in guter Näherung zugeordnet werden können, wird die Ereignishäufigkeit Poisson-verteilt sein. Poisson veröffentlichte 1837 seine Gedanken zu dieser Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk „Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile“ („Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen“).

Man betrachtet ein Raum- oder Zeitkontinuum w, in dem zählbare Ereignisse mit konstanter mittlerer Anzahl g pro Einheitsintervall stattfinden (ein Bernoulli-Experiment wird sehr oft, sozusagen an jedem Punkt des Kontinuums durchgeführt). Nun richtet man den Blick auf ein genügend kleines Kontinuumsintervall \Delta w, das je nach Experiment einen Bereich, ein Zeitintervall, eine abgegrenzte Strecke, Fläche oder Volumen darstellen kann. Was sich dort ereignet, bestimmt die globale Verteilung auf dem Kontinuum.

Die drei Poissonschen Annahmen lauten:

  1. Innerhalb des Intervalls [w,w + \Delta w] gibt es höchstens ein Ereignis (Seltenheit).
  2. Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, ist proportional zur Länge des Intervalls \Delta w. Da g konstant ist, ist es damit auch unabhängig von w.
  3. Das Eintreten eines Ereignisses im Intervall \Delta w wird nicht beeinflusst von Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben (Geschichtslosigkeit).

Mit Annahme 1 und 2 ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall \Delta w zu finden, gegeben als

p_1(\Delta w ) =  g \cdot  \Delta w,

sowie die Wahrscheinlichkeit eines leeren Intervalls durch

p_0(\Delta w ) = 1 - p_1(\Delta w ) = 1 - g \cdot  \Delta w.

Nach Annahme 3 ist die Wahrscheinlichkeit eines leeren Intervalls \Delta w unabhängig vom Auftreten irgendwelcher Ereignisse im Bereich w davor. So berechnet man die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis bis zum Punkt w + \Delta w zu

p_0(w + \Delta w ) = p_0(w) \cdot p_0(\Delta w)= p_0(w) - g \cdot  p_0(w) \cdot \Delta w.

Das ergibt näherungsweise die gewöhnliche Differentialgleichung \tfrac{\mathrm{d} p_0(w)}{\mathrm{d}w} = - g \cdot p_0(w) mit der Lösung

p_0(w) = \mathrm{e}^{-g  \cdot w}

unter der Anfangsbedingung p_0(0) = 1. Ebenso findet man die Wahrscheinlichkeit für m Ereignisse bis zum Punkt w + \Delta w

p_m(w + \Delta w ) = p_m(w) \cdot p_0(\Delta w) + p_{m-1}(w) \cdot p_1(\Delta w) = p_m(w) - g \cdot  p_m(w) \cdot \Delta w + g \cdot  p_{m-1}(w) \cdot \Delta w.

Jedes angehängte Intervall \Delta w darf nach Annahme 1 nur entweder kein oder ein Ereignis enthalten. Die entsprechende Differentialgleichung \tfrac{\mathrm{d} p_m(w)}{\mathrm{d}w} = - g \cdot p_m(w) + g \cdot p_{m-1}(w) hat die Lösung

p_m(w) = \frac{(g \cdot w)^m}{m!}\mathrm{e}^{-g  \cdot w}.

Identifiziert man nun in diesem Ausdruck, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von m Ereignissen im Kontinuumsbereich w beschreibt, die Parameter ( g \cdot w ) mit \lambda und m mit k, stimmt er mit der Formel der Poisson-Verteilung überein. Die Zahl \lambda ergibt sich in vielen Aufgabenstellungen als Produkt einer Rate (Anzahl von Ereignissen pro Einheitsintervall) und einem Vielfachen des Einheitsintervalls.

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse[Bearbeiten]

Ist N_t ein Poisson-Prozess mit Intensität \mu sowie  Y_1, Y_2, \ldots unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen unabhängig von N_t, so wird der stochastische Prozess

 X_t := \sum_{n=1}^{N_t} Y_n

als zusammengesetzter Poisson-Prozess bezeichnet.  X_t ist dann zusammengesetzt Poisson-Verteilt. Wie der ursprüngliche Poisson-Prozess ist auch X ein Sprungprozess unabhängiger Zuwächse und exponential(µ)-verteilter Abstände zwischen den Sprüngen, mit Sprunghöhen, die nach Y verteilt sind. Gilt  Y_1 = 1 f.s., so erhält man wieder einen Poisson-Prozess.

Für den Erwartungswert gilt die Formel von Wald (nach dem Mathematiker Abraham Wald),

\mathbb{E}(X_t)=\mathbb{E}(N_t)\mathbb{E}(Y_1)=\mu t\mathbb{E}(Y_1).

Für die Varianz gilt die Blackwell-Girshick-Gleichung:

 \operatorname{Var}(X_t)=\mu t \operatorname{E}(Y_1)^2+\mu t \operatorname{Var}(Y_1) .

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse sind Lévy-Prozesse.

Inhomogener Poisson-Prozess[Bearbeiten]

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein, \lambda nicht als Konstante, sondern als Funktion der Zeit aufzufassen. \lambda(t) muss dabei die beiden Bedingungen

  • \lambda(t) >0 für alle t\in \mathbb{R}_{+} und
  • \int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, \mathrm{d}t <\infty für \tau_1, \tau_2 \in \mathbb{R}_{+}

erfüllen.

Für einen inhomogenen Poisson-Prozess (P_{\lambda(t),t})_{t\ge 0} gilt abweichend von einem homogenen Poisson-Prozess:

  • P_t -P_s \sim \mathcal{P}_{\int_s^t \lambda(u)\, \mathrm{d}u}, wobei \mathcal{P} wieder die Poisson-Verteilung mit dem Parameter \int_s^t \lambda(u)\, \mathrm{d}u bezeichnet.
  • Für den Erwartungswert gilt \operatorname{E}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, \mathrm{d}u.
  • Für die Varianz gilt ebenfalls \operatorname{Var}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, \mathrm{d}u.
  • Sind \tau_1 und \tau_2 zwei Sprungstellen des inhomogenen Poisson-Prozesses, dann ist \int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, \mathrm{d}t exponentialverteilt mit dem Parameter 1.

Cox-Prozess[Bearbeiten]

Ein inhomogener Poisson-Prozess mit stochastischer Intensitätsfunktion \lambda(t) heißt doppelt stochastischer Poisson-Prozess oder nach dem englischen Mathematiker David Cox auch Cox-Prozess. Betrachtet man eine bestimmte Realisierung von \lambda(t), verhält sich ein Cox-Prozess wie ein inhomogener Poisson-Prozess. Für den Erwartungswert von P_{\lambda(t),t} gilt

\operatorname{E}(P_{\lambda(t),t}) = \operatorname{E}\left(\int_0^t \lambda(u)\, \mathrm{d}u\right).

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

  • Allgemein:
    • Zählung von gleichverteilten Ereignissen pro Flächen-, Raum- oder Zeitmaß (z.B. Anzahl der Regentropfen auf einer Straße; Anzahl der Sterne in einem Volumen V ist ein dreidimensionaler Poisson-Prozess)
    • Bestimmung der Häufigkeit seltener Ereignisse wie Versicherungsfälle, Zerfallsprozesse, Reparaturaufträge oder der Zahl der Tore in einem Fußballspiel (s. das Fußballbuch von Metin Tolan)
  • Bediensysteme:
    • die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeiteinheit
    • die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeiteinheit
    • die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs, Telefonanrufe, Heap,...) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung, ... ) eingehen
  • Fehler, Ausfälle, Qualitätskontrolle:
    • die zufällige Anzahl von nichtkeimenden Samenkörnern aus einer Packung
    • die Orte, an denen ein Faden Noppen hat
    • Anzahl der Pixelfehler auf einem LCD
    • Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße
    • Anzahl der Druckfehler in einem Buch
    • Anzahl der Unfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung
    • Auf [1] (PDF; 35 kB) wird der Versuch unternommen, die Abfolge von Selbstmorden am Massachusetts Institute of Technology als Poisson-Prozess zu modellieren.
  • Physik:
    • die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein \alpha-Teilchen emittiert
    • zufällige Anzahl der \alpha-Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden
  • Versicherungsmathematik:
    • die Zeitpunkte von Großschäden einer Versicherung. In der Finanz- und Versicherungsmathematik wird das Auftreten von zu deckenden Schäden üblicherweise durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess beschrieben, bei dem die einzelnen, unabhängig voneinander auftretenden Schäden nach Y verteilt sind. Versieht man diesen Schadensprozess dann noch mit einem deterministischen, negativen Drift (Versicherungsbeiträge), so erhält man einen Vermögensprozess des Versicherungsunternehmens. Dem schließen sich Fragestellungen an wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Vermögensprozess einen gewissen Schwellwert x, das heißt die Rücklagen der Versicherung, überschreitet und damit einen Konkurs erleidet? Wie stark muss der negative Drift beziehungsweise der Beitragssatz sein, um die Wahrscheinlichkeit eines Konkurses unter eine vorgegebene Schwelle zu drücken?
  • Finanzmathematik:
    • Modelle für Kurse von Aktien, wobei auch Sprünge erlaubt sind. Hierfür werden zwar oft Lévy-Prozesse verwendet, aber da unendliche Aktivität oft schwer zu messen ist, werden auch zusammengesetzte Poissonprozesse verwendet.
    • Kreditrisikomodelle helfen CDS, -Spreads und andere Kreditderivate zu bewerten und modellieren.

Literatur[Bearbeiten]