Separabilität (Quantenmechanik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel, wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.

Separabilität für reine Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Einfachheit halber werden im Folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände.

Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten („bipartiten“) Fall, eines aus den Teilsystemen 1 und 2 bestehenden Gesamtsystems 12. Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume und mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren und . Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist dann das Tensorprodukt

mit der Basis , oder in kompakterer Notation . Jeder Vektor in (d. h., jeder reine Zustand des Systems 12) lässt sich schreiben als .

Wenn sich ein reiner Zustand in der Form schreiben lässt (wobei ein reiner Zustand des Teilsystems ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt.

Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in sind

      bzw.      

wobei wie üblich zu lesen ist als: „wird repräsentiert durch“.

Man sieht,

  • dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen „eigenen“ Zustand zuweisen kann.
  • dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulässige Operationen aus jedem anderen Zustand (z. B. aus ) erzeugen lässt.

Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen.

Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern.

Separabilität für gemischte Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems 12 wird durch eine Dichtematrix beschrieben, die auf dem Hilbertraum wirkt.

ist separabel wenn es mit und Zustände auf und auf gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass

Andernfalls heißt verschränkt.

Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen auffassen lässt.

  • Dies impliziert zum einen, dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt. (Denn ein Produktzustand beschreibt unabhängige (unkorrelierte) Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben.)
  • Zum anderen folgt, dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand (z. B. aus ) erzeugen lässt. (Mittels klassischer Kommunikation wählen beide Parteien einen Index gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung aus und erzeugen dann (was jeweils lokal möglich ist) den Produktzustand .)

Es ist nach der obigen Definition klar, dass die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden.

Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form beliebig genau approximiert werden kann.

Separabilität für Vielparteien-Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus Teilsystemen mit System-Hilbertraum besteht, dann ist ein reiner Zustand auf genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form

ist. Analog ist ein gemischter Zustand auf separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:

.

Separabilitätskriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein reiner Zustand auf ist genau dann separabel, wenn die Entropie der reduzierten Zustände verschwindet, das heißt, wenn oder ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung äquivalent).

Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im Allgemeinen schwer zu beantworten (NP-Schwere[1]). Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation ermöglicht.

Ein Separabilitätskriterium ist eine (leicht überprüfbare) Bedingung, die jeder separable Zustand erfüllt (notwendige Bedingung für Separabilität). Die Verletzung einer solchen Bedingung ist dann hinreichend für den Nachweis von Verschränkung. Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung der Bellschen Ungleichung oder das Peres-Horodecki-Kriterium, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition[2] positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:

.

Im Allgemeinen (d. h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen . Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen ist notwendig und hinreichend für Separabilität.[3]

Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränktheitszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränktheitsmaßen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gernot Alber und M. Freyberger: Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen, Physikalische Blätter 55, Nr. 10, 24 (1999).
  • Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer Academic, 1995.
  • Eckert et al.: Entanglement Properties of Composite Quantum Systems. In: Quantum Information Processing. Th. Beth und G. Leuchs (Hrsg.), Wiley-VCH, 2003.
  • Jürgen Audretsch: Verschränkte Welt. Faszination der Quanten. Wiley-VCH, 2002.
  1. Gurvits J. Comput. Syst. Sci. 69, 448-484, (2004); arxiv:quant-ph/0201022
  2. Als partielle Transposition einer Matrix auf bezeichnet man die Matrix, bei der die Transposition nur bezüglich eines der beiden Teilsysteme gebildet wird. Seien und Orthonormalbasen von bzw. und seien die Matrixelemente in der Basis , dann gilt für die bezüglich partiell transponierte Matrix , dass . Die lineare Abbildung wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet. ist ein Beispiel für einen „positive, aber nicht vollständig positive“ Abbildung. (vgl. z. B. Horodecki et al. Phys. Lett. A 223, 1 (1996))
  3. Micha Horodecki, Pawe Horodecki, Ryszard Horodecki: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. In: Physics Letters A. 223, 1996, S. 1–8, doi:10.1016/S0375-9601(96)00706-2; arxiv:quant-ph/9605038.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]