Serre-Vermutung

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Der Satz von Quillen-Suslin wird ebenso als Serre-Vermutung bezeichnet.

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galoisdarstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vermutung betrifft Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe der rationalen Zahlen .

Sei eine absolut irreduzible, stetige und ungerade zweidimensionale Darstellung von über einem endlichen Körper

der Charakteristik ,

Nach der Vermutung gibt es eine Hecke-Eigenform

der Stufe , Gewicht , und Nebentypus

,

so dass für alle Primzahlen , teilerfremd zu Folgendes gilt:

und

Die Stufe und das Gewicht von werden explizit in Serres Artikel berechnet.

Es ist bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands[1] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Chandrasekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
  • Chandrasekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre´s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485-504, 505-586
  • Khare, Wintenberger On Serre´s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
  • Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beweis der Serre-Vermutung ist in den folgenden drei Papern enthalten: