Serre-Vermutung

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Der Satz von Quillen-Suslin wird ebenso als Serre-Vermutung bezeichnet.

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galoisdarstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.[1][2]

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galoisdarstellungen) der absoluten Galoisgruppe der rationalen Zahlen . Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei eine absolut irreduzible, stetige und ungerade[3] zweidimensionale Darstellung von über einem endlichen Körper

der Charakteristik ,

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe der Stufe , Gewicht , und Nebentypus [4]

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in F betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe , die Frobeniuselemente zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen , teilerfremd zu :

und

Das heisst Spur und Determinante und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung, werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serrevermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands[5] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten der Beweise:

  • Chandrasekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
  • Chandrasekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre´s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485-504, 505-586, Teil I (PDF-Datei; 344 kB), Teil II (PDF-Datei; 974 kB)
  • Khare, Wintenberger On Serre´s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
  • Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
  • Mark Kisin: Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations, Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587-634, Preprints, Kisin

Zur Serre-Vermutung:

  • William A. Stein Ken Ribet: Lecture´s on Serre´s conjecture, in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society 2001, S. 143-232 pdf
  • Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern, Essener Unikate Nr. 33, 2007, pdf
  • L. J. P. Kilford: Modular forms, Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109-117
  2. Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de , Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230
  3. Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist
  4. Für die Definition der Begriffe siehe Modulform
  5. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]