Streuung (Statistik)

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Unter Streuung (auch Dispersion) fasst man in der deskriptiven Statistik und in der Stochastik verschiedene Maßzahlen zusammen, die die Streubreite von Werten einer Häufigkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern. Die Streuung der Häufigkeitsverteilung wird als Standardfehler bezeichnet.

Maßzahlen[Bearbeiten]

Spannweite[Bearbeiten]

Die Spannweite (englisch range) R berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert:

 R = x_{\max} - x_{\min}

Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

Siehe auch: gleitende Spannweite (engl. moving range)

Quantilsabstand[Bearbeiten]

Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem p und 1-p Quantil:

QA_p = Q_{1-p}-Q_p mit 0\leq p < 0{,}5

Innerhalb des QA_p liegen 100 \cdot (1-2p) Prozent aller Messwerte.

(Inter-)Quartilsabstand[Bearbeiten]

Der Interquartilsabstand (engl. interquartile range), abgekürzt IQR, wird als Differenz der Quartile Q.25 und Q.75 berechnet:

 IQR = Q_{.75} - Q_{.25}

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der Median bzw. Q.50 – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen Bruchpunkt von \epsilon^*=0{,}25 hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem Quantilsabstand QA_{.25}

Mittlere absolute Abweichung[Bearbeiten]

Die mittlere absolute Abweichung e einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert \mu = \operatorname{E}(X) ist definiert durch

 \mathit{e} = \operatorname{E} \left(\left|X - \mu\right|\right).

Im Falle einer konkreten Stichprobe x_1, \dots, x_n mit Stichprobenmittelwert \bar{x} wird sie errechnet durch

 \mathit{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \bar{x}\right|.

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

Für symmetrische Verteilungen, d. h. Verteilungen mit der Eigenschaft f(\mu-x)=f(\mu+x) für alle reellen x, mit monoton fallender Dichte für x>\mu, gilt

IQR \le 2\mathit{e}.

Für die stetige Gleichverteilung gilt das Gleichheitszeichen.

Mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians[Bearbeiten]

Die mittlere absolute Abweichung (engl. mean deviation from the median, abgekürzt MD) vom Median \tilde{x} ist definiert durch

 \mathit{MD} = \operatorname{E}\left(\left|X - \tilde{x}\right|\right)

Im Falle einer konkreten Stichprobe wird sie errechnet durch

 \mathit{MD} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \tilde{x}\right|

Aufgrund der Extremaleigenschaft des Medians gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets

 \mathit{MD} \le \mathit{e} ,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

Für die Normalverteilung gilt:

\mathit{MD} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \sigma \approx 0,80 \cdot \sigma

Median der absoluten Abweichungen[Bearbeiten]

Die mittlere absolute Abweichung (engl. median absolute deviation, auch MedMed), abgekürzt MAD, ist definiert durch

 P(\left|X - \tilde{x}\right| \leq \mathit{MAD}) = 0{,}5

Im Falle einer konkreten Stichprobe wird sie errechnet durch

 \mathit{MAD} = \mathrm{median}{\left|x_i - \tilde{x}\right|}

Durch die Definition ergibt sich im Falle von normalverteilten Daten folgender Zusammenhang zur Standardabweichung:

\mathit{MAD} = z_{0{,}75} \cdot \sigma

z_{0{,}75} ist das 0,75-Quantil der Standardnormalverteilung und beträgt ca. 0,6745.

Die mittlere absolute Abweichung ist ein robuster Schätzer für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen Bruchpunkt von \varepsilon^* = 0{,}5 hat.

Varianz und Standardabweichung[Bearbeiten]

Die Varianz (engl. variance) und die Standardabweichung (engl. standard deviation) sind die wichtigsten und am meisten verwendeten Streuungsmaße. Mit dem Mittelwert \bar{x} bzw. dem Erwartungswert \operatorname{E}(X) ergeben sich folgende Streuungen:

  • \textstyle {s'}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 als Maß in der deskriptiven Statistik,
  • \textstyle s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 als Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit
  • \operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}\bigl((X-\operatorname{E}(X))^2\bigr) =\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 als die Varianz einer Zufallsvariablen
Hauptartikel: Varianz (Stochastik)

Daraus ergeben sich folgende Standardabweichungen:

  • \textstyle s' = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} bzw. \textstyle s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}
  • \sigma_X := \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{\operatorname{E}\bigl((X-\operatorname{E}(X))^2\bigr)}.

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Der Variationskoeffizient \operatorname{VarK}(X) einer Zufallsvariable X mit \operatorname{E}(X) > 0 ist definiert als das Verhältnis ihrer Standardabweichung zu ihrem Erwartungswert


\operatorname{VarK}(X) = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}.

Liegt anstelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten x_1,\dots,x_n vor, so bildet man den empirischen Variationskoeffizienten \operatorname{VarK} als Quotienten aus empirischer Standardabweichung und arithmetischem Mittelwert.

Graphische Darstellungsformen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Günter Buttler, Norman Fickel (2002), "Einführung in die Statistik", Rowohlt Verlag
  • Jürgen Bortz (2005), Statistik: Für Human- und Sozialwissenschaftler (6. Auflage), Springer Verlag, Berlin
  • Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Streuung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen