Superhochzusammengesetzte Zahlen

Eine superhochzusammengesetzte Zahl (engl. superior highly composite number, kurz: SHCN) ist eine hochzusammengesetzte Zahl, die in einem strengen Rahmen mehr Teiler als andere Zahlen derselben Größenordnung hat. Solch eine Zahl eignet sich dadurch besonders gut als Basis für einen vollen Satz, wie zum Beispiel in der Zeitmessung (60 Minuten, 60 Sekunden) oder bei Winkeln (360° als Vollwinkel).

Die Eigenschaft wird über das Verhältnis der Zahl $n$ zu ihrer Teileranzahl $d(n)$ bestimmt. Für eine superhochzusammengesetzte Zahl n muss es einen beliebigen, reellen, positiven Exponenten ε geben, sodass für alle natürlichen Zahlen k kleiner n gilt:

$${\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}$$

und für alle k größer n:

$${\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}>{\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}$$

mit der Teileranzahlfunktion d(n). Die Beschreibung wurde geprägt von Srinivasa Ramanujan.

Beispielsweise ist die Zwölf die Zahl mit der größten Teileranzahl je Quadratwurzel der Zahl selbst, wie anhand einiger hochzusammengesetzter Zahlen in der Nähe zu erkennen ist:

$${\frac {2}{2^{0,5}}}\approx 1{,}414;{\frac {3}{4^{0,5}}}=1{,}5;{\frac {4}{6^{0,5}}}\approx 1{,}633;{\frac {6}{12^{0,5}}}\approx 1{,}732;{\frac {8}{24^{0,5}}}\approx 1{,}633;{\frac {12}{60^{0,5}}}\approx 1{,}549$$

Wird nun der Exponent ε = 0,4 gesetzt, sticht die 120 heraus:

$${\frac {9}{36^{0,4}}}\approx 2{,}146;{\frac {10}{48^{0,4}}}\approx 2{,}126;{\frac {12}{60^{0,4}}}\approx 2{,}333;{\frac {16}{120^{0,4}}}\approx 2{,}357;{\frac {18}{180^{0,4}}}\approx 2{,}255;{\frac {20}{240^{0,4}}}\approx 2{,}233;{\frac {24}{360^{0,4}}}\approx 2{,}279$$

Die ersten 15 SHCN (Folge A002201 in der OEIS) sind ebenfalls die ersten 15 kolossal abundanten Zahlen, die durch ihre Teilersumme anstatt -anzahl bestimmt werden. Allerdings ist keine der beiden Zahlenmengen eine Unterkategorie der anderen.

Die ersten fünfzehn superhochzusammengesetzten Zahlen

k	k-te SHCNn	Primfaktorzerlegung	Primfaktor- exponenten	Teileranzahl d(n)		Primorialfaktoren
1	2	2	1	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	22	4	6
3	12	22 ⋅ 3	2,1	3 ⋅ 2	6	2 ⋅ 6
4	60	22 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3 ⋅ 22	12	2 ⋅ 30
5	120	23 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4 ⋅ 22	16	22 ⋅ 30
6	360	23 ⋅ 32 ⋅ 5	3,2,1	4 ⋅ 3 ⋅ 2	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4 ⋅ 3 ⋅ 22	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5 ⋅ 3 ⋅ 22	60	22 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5 ⋅ 3 ⋅ 23	120	22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5 ⋅ 3 ⋅ 24	240	22 ⋅ 6 ⋅ 30030
11	1441440	25 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	5,2,1,1,1,1	6 ⋅ 3 ⋅ 24	288	23 ⋅ 6 ⋅ 30030
12	4324320	25 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	5,3,1,1,1,1	6 ⋅ 4 ⋅ 24	384	22 ⋅ 62 ⋅ 30030
13	21621600	25 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	5,3,2,1,1,1	6 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 23	576	22 ⋅ 6 ⋅ 30 ⋅ 30030
14	367567200	25 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17	5,3,2,1,1,1,1	6 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 24	1152	22 ⋅ 6 ⋅ 30 ⋅ 510510
15	6983776800	25 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19	5,3,2,1,1,1,1,1	6 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 25	2304	22 ⋅ 6 ⋅ 30 ⋅ 9699690

Interessant ist auch, dass k ebenso die Anzahl der Primfaktoren der k-ten SHCN wiedergibt.

Literatur

• Srinivasa Ramanujan, Jean-Louis Nicolas, Guy Robin: Highly Composite Numbers (PDF; 256 kB) In: The Ramanujan Journal, I, 1997, S. 119–153.