Ramanujansumme

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Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe c_q(n), deren Wert von der natürlichen Zahl q und der ganzen Zahl n abhängt, bezeichnet. Sie wird durch

c_q(n)= \sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q e^{2 \pi i \frac{a}{q} n}

definiert. Die Schreibweise (a,q) steht für den größten gemeinsamen Teiler von a und q, die Summation erstreckt sich also über die Zahlen a mit 1 \leq a \leq q, die zu q teilerfremd sind. Die Summanden in der Summe sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.

S. Ramanujan führte diese Summen 1916 ein.[1] Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow.[2] → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.

Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.

Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend e(x)=e^{2\pi i x} geschrieben und die Funktion e wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.[3]

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme c_q(n) als

c_q(n)= \sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right) schreiben.

Für ganze Zahlen a und b schreibt man a\mid b, gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl c existiert mit der b=a\cdot c gilt, existiert keine solche Zahl, schreibt man a \nmid b, gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol \sum_{d\,\mid\,m}f(d) bedeutet, dass der Summationsindex d alle positiven Teiler von m durchläuft. Für eine Primzahlpotenz p^k, k\in\N\setminus \lbrace 0 \rbrace und eine ganze Zahl b schreibt man p^k\parallel b (gelesen „p^k teilt b genau“), falls p^k\mid b aber p^{k+1}\nmid b, mit anderen Worten, falls (p^{k+1},b)=p^k.

Elementare Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hält man eine der Variablen q oder n in der Ramanujansumme c_q(n) fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen, n muss für diesen Begriff als Variable auf n\in\N\setminus \lbrace 0\rbrace beschränkt werden. Bei festem q ist die Funktion n\mapsto c_q(n) q-periodisch, das heißt, es gilt

c_q(m)=c_q(n) falls m\equiv n\pmod q, n,m\in \Z.

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

\sum_{a=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right) =\begin{cases} q\quad \text{falls}\; n\equiv 0 \pmod q \\ 0\quad \text{sonst,}\end{cases}

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von q und a, dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion q\mapsto c_q(n) mit der konstanten Funktion I^0(q)=1:

\sum_{a=1}^q e\left( \frac{a}{q}\cdot n\right) =\sum_{d\mid q} \sum_{a=1\atop (a,q)=d}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right)
  =\sum_{d\mid q} c_{q/d} (n).

Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

c_q(n)= \sum_{{d\mid q}\atop {n\equiv 0 \pmod d}} \mu(q/d) \cdot d  = \sum_{d\mid (q,n)} \mu(q/d)\cdot d.

Daraus folgt dann:

  • Die Ramanujansumme c_q(n) nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
  • es gilt c_q(n)=c_q(-n),  c_q(0)=\varphi(q),
  • sie ist bei festem n eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von q, das heißt
aus (q,r)=1 folgt c_{qr}(n)=c_{q}(n)\cdot c_r(n)
c_q(n)=\varphi (q) \cdot \frac{\mu(q/(q,n))}{\varphi(q/(q,n))} (für n=0 setzt man (q,0)=q, allgemeiner (q,n) als positiven ggT fest),
  • ihre Werte sind bei festem q betragsmäßig durch \varphi(q) beschränkt,
  • wird die natürliche Zahl \!\, q/(q,n) für eine Primzahl p von p^2 geteilt, dann ist c_q(n)=0.

Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskrete Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:[5]

Seien n\in \Z,\; q\in\N und f:\N\rightarrow \C eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt
 F_f(n,q) = \sum_{a=1}^q f((a,q))\cdot e\left(- \frac{a}{q}\cdot n\right)
diskrete Fouriertransformierte von f((n,q)).

Für diese Fouriertransformierte gilt:

  1.  F_f(n,q) = (f * c_{\underline{\quad}}(n)) (q)= \sum_{d\mid q}  f\left(\frac{q}{d}\right)\cdot c_d(n) und
  2.  f((n,q)) = \frac{1}{q}\sum_{a=1}^q F_f(a,q) e \left(\frac{a}{q}\cdot n\right) für die Inverse Transformierte.[5]

Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Größter gemeinsamer Teiler:
(n,q)=\sum_{a=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right)\cdot \sum_{d\mid q} \frac{c_d(a)}{d}. Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle n auf n\in\C als ganze Funktion![5]
  • Eulersche φ-Funktion:
\varphi(q)=\sum_{a=1}^q (a,q)\cdot e\left(-\frac{a}{q}\right). Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen
 \sum_{a=1}^q (a,q)\cdot \cos\left(2\pi \cdot \frac{a}{q}\right)=\varphi(q)\quad und  \sum_{a=1}^q (a,q)\cdot \sin\left(2\pi \cdot \frac{a}{q}\right)=0.
  • Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei \eta(n) die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit
\eta(n)=\begin{cases}1\quad (n=1)\\ 0 \quad \left( n\in\N\setminus \lbrace 1\rbrace\right).\end{cases}
Dann folgt durch Inverse Fouriertransformation für n\in\Z\setminus \lbrace 0\rbrace, q\in\N:
 \eta((n,q))=\frac{1}{q}\sum_{a=1}^q c_q(a)\cdot e\left( \frac{a}{q}\cdot n\right).
Das bedeutet: Genau wenn die rechtstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen n und q teilerfremd. Dann hat die rechte Seite der Gleichung den Wert 1.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.
  • Godfrey Harold Hardy : Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0.
  • Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Aufl. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5.
  • John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Aufl. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 15, 1918, S. 259– 276.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 9, 1916, S. 159– 184.
  • Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
  • Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.
  • Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band 8, Nr. 50, 2008 (emis.de).
  • Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ramanujan (1916)
  2. Vaughan (1997)
  3. Brüdern (1995) S. 20
  4. Brüdern (1995) Lemma 1.3.1
  5. a b c Schramm (2008)