Ramanujansumme

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Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe , deren Wert von der natürlichen Zahl und der ganzen Zahl abhängt, bezeichnet. Sie wird durch

definiert. Die Schreibweise steht für den größten gemeinsamen Teiler von und , die Summation erstreckt sich also über die Zahlen mit , die zu teilerfremd sind. Die Summanden in der Summe sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.

S. Ramanujan führte diese Summen 1916 ein.[1] Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow.[2] → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.

Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.

Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend geschrieben und die Funktion wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.[3]

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme als

schreiben.

Für ganze Zahlen und schreibt man , gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl existiert mit der gilt, existiert keine solche Zahl, schreibt man , gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol bedeutet, dass der Summationsindex alle positiven Teiler von durchläuft. Für eine Primzahlpotenz und eine ganze Zahl schreibt man (gelesen „ teilt b genau“), falls aber , mit anderen Worten, falls .

Elementare Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hält man eine der Variablen oder in der Ramanujansumme fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen, muss für diesen Begriff als Variable auf beschränkt werden. Bei festem ist die Funktion -periodisch, das heißt, es gilt

falls .

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von und , dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion mit der konstanten Funktion :

.

Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

Daraus folgt dann:

  • Die Ramanujansumme nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
  • es gilt , ,
  • sie ist bei festem eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von , das heißt
aus folgt
  • und es gilt stets .
  • Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion und die Möbiusfunktion darstellen:[4]
(für setzt man , allgemeiner als positiven ggT fest),
  • ihre Werte sind bei festem betragsmäßig durch beschränkt,
  • wird die natürliche Zahl für eine Primzahl von geteilt, dann ist .

Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskrete Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:[5]

Seien und eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt
diskrete Fouriertransformierte von .

Für diese Fouriertransformierte gilt:

  1. und
  2. für die Inverse Transformierte.[5]

Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Größter gemeinsamer Teiler:
. Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle auf als ganze Funktion![5]
  • Eulersche φ-Funktion:
. Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen
und
  • Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit
Dann folgt durch Inverse Fouriertransformation für
Das bedeutet: Genau wenn die rechtstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen und teilerfremd. Dann hat die rechte Seite der Gleichung den Wert 1.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.
  • Godfrey Harold Hardy : Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0.
  • Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5.
  • John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 15, 1918, S. 259– 276.
  • Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 9, 1916, S. 159– 184.
  • Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
  • Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.
  • Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band 8, Nr. 50, 2008 (emis.de [PDF]).
  • Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ramanujan (1916)
  2. Vaughan (1997)
  3. Brüdern (1995) S. 20
  4. Brüdern (1995) Lemma 1.3.1
  5. a b c Schramm (2008)