Vervollständigung (Kommutative Algebra)

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Die Vervollständigung oder Komplettierung eines Ringes oder eines Moduls ist eine Technik in der kommutativen Algebra, bei der ein Ring oder ein Modul vervollständigt wird bezüglich einer bestimmten Metrik, die meist durch ein Ideal induziert wird. Der Begriff ist geometrisch verwandt mit der Lokalisierung eines Ringes: Beide Ringerweiterungen untersuchen die Nachbarschaft eines Punktes im Spektrum eines Ringes, wobei aber die Vervollständigung noch stärker das lokale Aussehen widerspiegelt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Vervollständigung eines Ringes bezüglich eines Ideals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring und ein Ideal.

Im Ring

wird eine Folge

Nullfolge genannt, wenn es für alle ein gibt, sodass gilt:

sei das Ideal aller Nullfolgen.

Eine Folge

wird Cauchy-Folge genannt, wenn es für alle ein gibt, sodass gilt:

sei der Unterring aller Cauchy-Folgen

Der Ring

wird als die Vervollständigung von bezüglich bezeichnet.

Für ist

eine Cauchyfolge.

Die Abbildung

ist genau dann injektiv, falls:

Der Ring heißt vollständig (komplett) (bezüglich ), wenn ein Isomorphismus ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formale Potenzreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Polynomring über einem Körper und das Ideal , so entsprechen Cauchyfolgen von Polynomen unendlichen Polynomen

Die Vervollständigung von ist isomorph zu dem Ring der formalen Potenzreihen

P-adische Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die p-adischen Zahlen werden als Vervollständigung von bezüglich der -adischen Metrik beschrieben: Sind und rationale Zahlen mit

mit und und teilt nicht , so ist

Eine Folge von ganzen Zahlen ist genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich der -adischen Metrik, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich des Ideals ist. Man erhält daher eine Einbettung:

.

Hierbei bezeichnet die linke Seite die Vervollständigung von bezüglich . Diese Einbettung liefert sogar einen Isomorphismus zum Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Aufgrund des henselschen Lemmas existieren in viele nichtrationale algebraische Zahlen, z. B. die -ten Einheitswurzeln.

Geometrisches Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Newtonsche Knoten in der reellen affinen Ebene

Sei die ebene algebraische Kurve im zweidimensionalen affinen Raum, die durch die Gleichung

definiert wird. Im Nullpunkt schneidet sich die Kurve. Sie wird der Newtonsche Knoten genannt und sieht um den Nullpunkt (anschaulich) lokal so aus wie die Kurve , die durch die Gleichung:

definiert wird.

Dieser geometrische Sachverhalt entspricht der Isomorphie:

mit

und

Die lokalen Ringe der Punkte sind nicht isomorph, wohl aber ihre Vervollständigungen bezüglich ihrer maximalen Ideale.

Der Ring auf der linken Seite der „Isomorphie-Gleichung“ ist außerdem ein Beispiel dafür, dass die Vervollständigung eines Integritätsbereiches kein Integritätsbereich sein muss.

Analytisch betrachtet ist der Newtonsche Knoten als Teilmenge der komplexen Ebene als Ganzes zwar irreduzibel, zerfällt aber lokal um die Null in zwei Zweige. Denn für ist die Wurzel von holomorph, man kann also schreiben:

mit zwei holomorphen Funktionen und .

Algebraisch-geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedeutung der Vervollständigung für die algebraische Geometrie ist, dass man im vervollständigten Ring das lokale Aussehen der Varietät studieren kann. Haben zwei Punkte und zweier irreduzibler Varietäten isomorphe lokale Ringe, so sind die Varietäten und bereits birational äquivalent. Der lokale Ring trägt schon fast alle Informationen über die Varietät in sich, während die Komplettierung des lokalen Rings der Intuition über lokales Verhalten näher kommt.

Es gilt folgende Satz:

Sei ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal und seine Vervollständigung. Dann gilt:

  • ist genau dann regulär wenn es ist.

Cohens Struktursatz macht eine Aussage über die Vervollständigung lokaler Ringe von Varietäten:

Ist ein regulärer lokaler Ring, der vollständig bezüglich seines maximalen Ideals ist und einen Körper enthält, dann gilt:

wobei der Restklassenkörper von ist.

Reguläre Punkte auf algebraischen Varietäten gleicher Dimension haben also isomorphe Komplettierungen, ähnlich wie Punkte auf Mannigfaltigkeiten gleicher Dimensionen homöomorphe Umgebungen haben.

Funktorielle Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Ringe und sowie Ideale und

ein Ringhomomorphismus mit:

(Ein solcher Ringhomomorphismus wird stetig genannt) dann existiert ein Homomorphismus

“ ist dadurch ein Funktor mit stetigen Abbildungen als Morphismen

Konstruktionsalternativen und Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen auf Moduln durch Filtrierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Filtrierung eines Moduls ist eine Folge

sodass

Die spielen nun in der Definition von Nullfolge und Cauchyfolge die Rolle der . Die Definitionen lassen sich wörtlich übertragen. Es ist

und heißt komplett (bezüglich der Filtrierung), wenn die Abbildung

ein Isomorphismus ist.

Ringe als (pseudo-) metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vervollständigung eines Ringes bezügliche eines Ideals kann als Spezialfall der Vervollständigung eines metrischen Raumes verstanden werden, wenn auf dem Ring eine geeignete Metrik definiert wird.

Ist ein Ring und ein Ideal, so kann diesem Ring durch das Ideal ein Abstand definiert werden durch:

Dies ist eine Pseudometrik, denn es gilt:

Falls gilt:

so ist die Abstandsfunktion eine Metrik, d. h., es gilt zusätzlich:

Bezüglich dieser (Pseudo-) Metrik stimmen die oben genannten Begriffe Cauchy-Folge, Nullfolge und Komplettierung mit denen der metrischen Räume überein.

Vervollständigung als inverser Limes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein inverses System von Ringen (bzw. Moduln) ist (hier) eine Folge von Ringen (bzw. Moduln) und Homomorphismen

sodass

Also:

Der inverse Limes dieses inversen Systems ist:

Ist nun ein Ideal und

(Wobei unterschiedliche, d. h. die entsprechenden Restklassen gemeint sind.)

dann gilt folgende Isomorphie:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]