Henselsches Lemma

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Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.[1]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring und Restklassenkörper . Ist nun ein Polynom, dessen Reduktion das Produkt zweier teilerfremder Polynome ist, so gibt es Polynome , so dass gilt und bzw. die Reduktion von bzw. ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Primzahl sei der Körper der -adischen Zahlen, und . Das Polynom zerfällt über in Linearfaktoren
.
Es gibt also Polynome , so dass
gilt. Die Polynome haben notwendigerweise die Form mit , man kann also annehmen, d. h. es gibt , so dass
gilt. Die sind die -ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass .
  • Ist die Primzahl , dann gibt es nach dem Obigen ein mit .
Denn unter den -ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit bezeichnet, die die zyklische Gruppe der -ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit ergibt sich .
  • Im Körper der p-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist –1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und kann nicht angeordnet werden.
Zwei Fälle sind zu unterscheiden:
  1. : Nach dem Vier-Quadrate-Satz gibt es 4 Summanden mit . Nun ist ein quadratischer Rest . Es gibt also ein mit oder und teilerfremden . Nach dem henselschen Lemma gibt es ein mit , so dass die Summe von 4 nicht verschwindenden Quadraten ist.
  2. : Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass . Sei nämlich mit . Für sei nun derart, dass . Da durch 2 teilbar ist, können wir
       
    bilden. Dann ist
        .
    Somit gibt es eine in konvergente Folge mit . Die Summe von 5 Quadraten verschwindet.
  • Es seien wie oben, aber . Dann ist mit Faktoren , die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Henselscher Ring

Die Voraussetzung, dass vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper beziehungsweise Ringe , in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms , genauer das Verhalten der Nullstellen modulo des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo und diese werden mit ihren Hebungen modulo verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei . Ist

,

so sagen wir, ist eine Nullstelle von f(X) in oder modulo .

Sei eine Nullstelle von modulo . Sei . Ist eine Nullstelle von f(X) modulo und ist

,

dann sagen wir, dass eine Nullstelle modulo ist, die die Nullstelle a modulo hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in eingetragen, wobei die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in , so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in , so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei das Polynom

gegeben. Sei prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Beispiel zu dem Polynom

In der ersten Ebene () befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall . In der zweiten Ebene () sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene () sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall . Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908.
  • Helmut Koch: Zahlentheorie - Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
  • Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.